与费尔巴哈双曲线相关的三点共线问题

0.1110

0.1110

接3楼

hujunhua

0.1110 发表于 2024-10-29 10:02

通过仿射变换可知，这个性质对于三角形的一般内切椭圆也成立，内心 I 是内切椭圆的中心。可能按一般内切椭圆用代数方法更好做。

hujunhua

记AE=AF=a, BD=BF=b, CD=CE=c, IA'/ID=IB'/IE=IC'/IF=s, p=a+b+c

则 $D=(cB+bC)/(b+c), E=(cA+aC)/(a+c), F=(bA+aB)/(a+b)$,

$I=(1-a/p)A/2+(1-b/p)B/2+(1-c/p)C/2=3/2G-N/2$。 G，N分别是△ABC的重心和奈格尔点

mathe

对于一般圆锥曲线都应该成立，
比如如图双曲线xy=1中心在O点，三角形ABC外切它，切点为D,F,E.
在射线OA,OB,OC上分别取$A_1,B_1,C_1$使得$OA_1:OA=OB_1:OB=OC_1:OC$, 那么必然有$DA_1,FB_1,EC_1$三线共点

hujunhua

0.1110 发表于 2024-10-29 15:26
接3楼

给定红三角形，让蓝三角形变动，则两三角形对应顶点的连线所共之点的轨迹是一条双曲线，通过红三角形的3个顶点、内心 I 和垂心 H 。
这条双曲线也通过红三角形的热尔岗点 G 和奈格尔点 N。曲线的中心是红三角形的费尔巴哈点。
在等距共轭变换（即本坛曾经讨论过的三坐标反演）下，这条双曲线变成直线GN。



这条双曲线堪与肯佩特双曲线媲美，但搜索到的资料却比较少，也不知有没有一个历史名称。
与肯佩特双曲线一样，这条双曲线也是一条等轴双曲线。
有一个定理说，三角形的外接圆锥曲线中经过垂心的簇都是等轴双曲线。

注：三角形的肯佩特双曲线过三角形的外接圆锥曲线中经过垂心、重心和费马点者。

mathe

假设一条圆锥曲线中心在原点，可以旋转以后方程变化为 $ax^2+by^2+c=0$
假设其上有三个点$D(x_1,y_1),E(x_2,y_2),F(x_3,y_3)$,那么过这三点切线方程分别为$ax_i x+by_i y+c=0$.
使用Pari/gp计算三切线两两交点A,B,C的射影坐标，可以使用

1. 
   
2. (08:32) gp > getline(A,B)={local(M); M=matrix(2,3);M[1,]=A;M[2,]=B;matker(M)~[1,]}
   
3. %36 = (A,B)->local(M);M=matrix(2,3);M[1,]=A;M[2,]=B;matker(M)~[1,]
   
4. (08:32) gp > L1=[a*x1,b*y1,c]
   
5. %37 = [x1*a, y1*b, c]
   
6. (08:33) gp > L2=[a*x2,b*y2,c]
   
7. %38 = [x2*a, y2*b, c]
   
8. (08:33) gp > L3=[a*x3,b*y3,c]
   
9. %39 = [x3*a, y3*b, c]
   
10. (08:33) gp > PA=getline(L1,L2)
    
11. %40 = [((-y2 + y1)/((y2*x1 - y1*x2)*a))*c, ((-x1 + x2)/(y2*b*x1 - y1*b*x2))*c, 1]
    
12. (08:33) gp > PB=getline(L2,L3)
    
13. %41 = [((y2 - y3)/((y3*x2 - x3*y2)*a))*c, ((-x2 + x3)/(y3*b*x2 - x3*y2*b))*c, 1]
    
14. (08:33) gp > PC=getline(L3,L1)
    
15. %42 = [((y1 - y3)/((y3*x1 - x3*y1)*a))*c, ((-x1 + x3)/(y3*b*x1 - x3*y1*b))*c, 1]
    
16. (08:35) gp > PA[3]=h
    
17. %49 = h
    
18. (08:40) gp > PB[3]=h
    
19. %50 = h
    
20. (08:40) gp > PC[3]=h
    
21. %51 = h
    
22. (08:41) gp > PA
    
23. %52 = [((-y2 + y1)/((y2*x1 - y1*x2)*a))*c, ((-x1 + x2)/(y2*b*x1 - y1*b*x2))*c, h]
    
24. (08:41) gp > PB
    
25. %53 = [((y2 - y3)/((y3*x2 - x3*y2)*a))*c, ((-x2 + x3)/(y3*b*x2 - x3*y2*b))*c, h]
    
26. (08:41) gp > PC
    
27. %54 = [((y1 - y3)/((y3*x1 - x3*y1)*a))*c, ((-x1 + x3)/(y3*b*x1 - x3*y1*b))*c, h]
    
28. (08:41) gp > getline(PA,[x3,y3,1])
    
29. %55 = [((-x1 + x2)*a*c + (-h*y3*y2*b*x1 + h*y3*y1*b*x2)*a)/(((x3*x1 - x3*x2)*a + (-y3*y2 + y3*y1)*b)*c), ((y2 - y1)*b*c + (h*x3*y2*b*x1 - h*x3*y1*b*x2)*a)/(((x3*x1 - x3*x2)*a + (-y3*y2 + y3*y1)*b)*c), 1]
    
30. (08:41) gp > getline(PB,[x1,y1,1])
    
31. %56 = [((x2 - x3)*a*c + (h*y3*y1*b*x2 - h*x3*y1*y2*b)*a)/(((-x2 + x3)*x1*a + (-y1*y2 + y3*y1)*b)*c), ((y2 - y3)*b*c + (-h*y3*b*x2 + h*x3*y2*b)*x1*a)/(((-x2 + x3)*x1*a + (-y1*y2 + y3*y1)*b)*c), 1]
    
32. (08:41) gp > getline(PC,[x2,y2,1])
    
33. %57 = [((-x1 + x3)*a*c + (-h*y3*y2*b*x1 + h*x3*y1*y2*b)*a)/(((x2*x1 - x3*x2)*a + (y1 - y3)*y2*b)*c), ((-y1 + y3)*b*c + (h*y3*b*x2*x1 - h*x3*y1*b*x2)*a)/(((x2*x1 - x3*x2)*a + (y1 - y3)*y2*b)*c), 1]
    
34. (08:41) gp > getline(%55,%56)
    
35. %58 = [(((((-y2 + y1)*x2 + (-x3*y1 + y3*x3))*x1 + (x3*y2 - y3*x3)*x2)*a + ((-y1 + y3)*y2^2 + (y1^2 - y3^2)*y2 + (-y3*y1^2 + y3^2*y1))*b)*c^2 + (((-h*x3*y2 + h*y3*x3)*x2*x1^2 + ((h*x3*y1 - h*y3*x3)*x2^2 + (h*x3^2*y2 - h*x3^2*y1)*x2)*x1)*a^2 + (((-h*y3^2*y2 + h*y3^2*y1)*b*x2 + (-h*x3*y1 + h*y3*x3)*y2^2*b)*x1 + (h*x3*y1^2*y2 - h*y3*x3*y1^2)*b*x2)*a)*c)/(((-y2 + y3)*x1 + ((y1 - y3)*x2 + (x3*y2 - x3*y1)))*a*c^2 + (((h*y3*x2 - h*x3*y2)*x1^2 + (-h*y3*x2^2 + h*x3^2*y2)*x1 + (h*x3*y1*x2^2 - h*x3^2*y1*x2))*a^2 + ((-h*y3*y2^2 + h*y3^2*y2)*b*x1 + ((h*y3*y1^2 - h*y3^2*y1)*b*x2 + (h*x3*y1*y2^2 - h*x3*y1^2*y2)*b))*a)*c + ((h^2*y3^2*y2*b*x2 - h^2*y3*x3*y2^2*b)*x1^2 + (-h^2*y3^2*y1*b*x2^2 + h^2*x3^2*y1*y2^2*b)*x1 + (h^2*y3*x3*y1^2*b*x2^2 - h^2*x3^2*y1^2*y2*b*x2))*a^2), ((((-x2 + x3)*x1^2 + (x2^2 - x3^2)*x1 + (-x3*x2^2 + x3^2*x2))*a + ((-y1*y2 + y3*y1)*b*x1 + ((y1 - y3)*y2*b*x2 + (y3*x3*y2 - y3*x3*y1)*b)))*c^2 + (((-h*y3*y2*b*x2 + h*y3*x3*y2*b)*x1^2 + (h*y3*y1*b*x2^2 - h*x3^2*y1*y2*b)*x1 + (-h*y3*x3*y1*b*x2^2 + h*x3^2*y1*y2*b*x2))*a + ((-h*y3*y1*y2^2 + h*y3^2*y1*y2)*b^2*x1 + ((h*y3*y1^2 - h*y3^2*y1)*y2*b^2*x2 + (h*y3*x3*y1*y2^2 - h*y3*x3*y1^2*y2)*b^2)))*c)/(((-y2 + y3)*b*x1 + ((y1 - y3)*b*x2 + (x3*y2 - x3*y1)*b))*c^2 + (((h*y3*b*x2 - h*x3*y2*b)*x1^2 + (-h*y3*b*x2^2 + h*x3^2*y2*b)*x1 + (h*x3*y1*b*x2^2 - h*x3^2*y1*b*x2))*a + ((-h*y3*y2^2 + h*y3^2*y2)*b^2*x1 + ((h*y3*y1^2 - h*y3^2*y1)*b^2*x2 + (h*x3*y1*y2^2 - h*x3*y1^2*y2)*b^2)))*c + ((h^2*y3^2*y2*b^2*x2 - h^2*y3*x3*y2^2*b^2)*x1^2 + (-h^2*y3^2*y1*b^2*x2^2 + h^2*x3^2*y1*y2^2*b^2)*x1 + (h^2*y3*x3*y1^2*b^2*x2^2 - h^2*x3^2*y1^2*y2*b^2*x2))*a), 1]
    
36. (08:42) gp > getline(%56,%57)
    
37. %59 = [(((((y2 - y1)*x2 + (x3*y1 - y3*x3))*x1 + (-x3*y2 + y3*x3)*x2)*a + ((y1 - y3)*y2^2 + (-y1^2 + y3^2)*y2 + (y3*y1^2 - y3^2*y1))*b)*c^2 + (((h*x3*y2 - h*y3*x3)*x2*x1^2 + ((-h*x3*y1 + h*y3*x3)*x2^2 + (-h*x3^2*y2 + h*x3^2*y1)*x2)*x1)*a^2 + (((h*y3^2*y2 - h*y3^2*y1)*b*x2 + (h*x3*y1 - h*y3*x3)*y2^2*b)*x1 + (-h*x3*y1^2*y2 + h*y3*x3*y1^2)*b*x2)*a)*c)/(((y2 - y3)*x1 + ((-y1 + y3)*x2 + (-x3*y2 + x3*y1)))*a*c^2 + (((-h*y3*x2 + h*x3*y2)*x1^2 + (h*y3*x2^2 - h*x3^2*y2)*x1 + (-h*x3*y1*x2^2 + h*x3^2*y1*x2))*a^2 + ((h*y3*y2^2 - h*y3^2*y2)*b*x1 + ((-h*y3*y1^2 + h*y3^2*y1)*b*x2 + (-h*x3*y1*y2^2 + h*x3*y1^2*y2)*b))*a)*c + ((-h^2*y3^2*y2*b*x2 + h^2*y3*x3*y2^2*b)*x1^2 + (h^2*y3^2*y1*b*x2^2 - h^2*x3^2*y1*y2^2*b)*x1 + (-h^2*y3*x3*y1^2*b*x2^2 + h^2*x3^2*y1^2*y2*b*x2))*a^2), ((((x2 - x3)*x1^2 + (-x2^2 + x3^2)*x1 + (x3*x2^2 - x3^2*x2))*a + ((y1*y2 - y3*y1)*b*x1 + ((-y1 + y3)*y2*b*x2 + (-y3*x3*y2 + y3*x3*y1)*b)))*c^2 + (((h*y3*y2*b*x2 - h*y3*x3*y2*b)*x1^2 + (-h*y3*y1*b*x2^2 + h*x3^2*y1*y2*b)*x1 + (h*y3*x3*y1*b*x2^2 - h*x3^2*y1*y2*b*x2))*a + ((h*y3*y1*y2^2 - h*y3^2*y1*y2)*b^2*x1 + ((-h*y3*y1^2 + h*y3^2*y1)*y2*b^2*x2 + (-h*y3*x3*y1*y2^2 + h*y3*x3*y1^2*y2)*b^2)))*c)/(((y2 - y3)*b*x1 + ((-y1 + y3)*b*x2 + (-x3*y2 + x3*y1)*b))*c^2 + (((-h*y3*b*x2 + h*x3*y2*b)*x1^2 + (h*y3*b*x2^2 - h*x3^2*y2*b)*x1 + (-h*x3*y1*b*x2^2 + h*x3^2*y1*b*x2))*a + ((h*y3*y2^2 - h*y3^2*y2)*b^2*x1 + ((-h*y3*y1^2 + h*y3^2*y1)*b^2*x2 + (-h*x3*y1*y2^2 + h*x3*y1^2*y2)*b^2)))*c + ((-h^2*y3^2*y2*b^2*x2 + h^2*y3*x3*y2^2*b^2)*x1^2 + (h^2*y3^2*y1*b^2*x2^2 - h^2*x3^2*y1*y2^2*b^2)*x1 + (-h^2*y3*x3*y1^2*b^2*x2^2 + h^2*x3^2*y1^2*y2*b^2*x2))*a), 1]
    
38. (08:42) gp > %58-%59
    
39. %60 = [0, 0, 0]
    

复制代码

由此证明了命题的成立。

这个证明过程也说明了D,E,F可以不在曲线上，这时我们只需要使用极线代替切线即可。

0.1110

两三角形对应顶点的连线所共之点的轨迹是一条双曲线
两三角形对应边的中点的连线所共之点的轨迹也是一条双曲线
这两条双曲线相交，除内心外，还有哪些？

hujunhua

搜索到了，三角形的外接圆锥曲线（Circumconic）中经过垂心和内心的叫做费尔巴哈双曲线（Feuerbach Hyperbola）。

两三角形对应边的中点的连线所共之点的轨迹也是一条双曲线，是红色三角形的三边中点构成的三角形的费尔巴哈双曲线。
因为红色三角形的外心是其中点三角形的垂心，内心是其中点三角形的奈格尔点，当动三角形趋向无穷大时，交点即中点三角形的内心。

mathe

转化为代数形式应该是:
A是3*3可逆矩阵，如果3维列向量$x_1,x_2,x_3$互不相关，3维列向量$y_1,y_2,y_3$互不相关
而且当i!=j时，$x_i'Ay_j=0$. （A是对称阵）
如果三维向量$z_1,z_2,z_3$满足$x_i'z_i=y_i'z_i=0$,那么$z_1,z_2,z_3$相关。