与费尔巴哈双曲线相关的三点共线问题

hujunhua

费尔巴哈双曲线的等距共扼像是直线GN（格尔岗点－奈格尔点连线），等角共扼像是直线OI（外心－内心连线）。OI是它在I处的切线。

mathe

这个问题等价于，给定圆锥曲线C 和平面上任意选择的三个不共线的点A,B,C; 三个点关于C的极线两两相交于A',B',C',那么求证AA',BB',CC'三线共点。
设圆锥曲线C的齐次坐标形式为$v'Av=0$.
比如对于圆锥曲线$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2e+f=0$,对应对称矩阵\(A=\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}\).
而曲线方程写成\(\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=0\).
其中我们记\(v=\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\)
于是对于点$v_i$,对应极线方程为$v'Av_i=0$ (我们分别假设A,B,C三点齐次坐标为$v_1,v_2,v_3$)
如果我们假设A',B',C'三点齐次坐标为$w_1,w_2,w_3$,那么必然对于i!=j,有$w'_jAv_i=0$
设$v_i,w_i$的直线方程为$v'z_i=0$,那么必然有$v'_iz_i=0,w'_iz_i=0$, 而三线共点要求$z_1,z_2,z_3$三者相关，或者它们构成的矩阵行列式为0.
现在我们分别把齐次坐标$v_i,w_i,z_i$都看成三维空间中的点。
由于A是一个可逆对称阵，在复空间中可以写成B'B的形式。 我们设$s_i=Bv_i, t_i=Bw_i,u_i=B^{-1}z_i$
于是题目条件变化为，已知对于非零三维向量$s_i,t_i,u_i, 1\le i\le3$满足
i)$s_1,s_2,s_3$线性无关。
ii)对于i!=j总有$s'_jt_i=0$，
iii)$s'_iu_i=0,t'_iu_i=0$
那么求证$u_1,u_2,u_3$线性相关。
我们现在查看几何意义$t_1$为$s_2,s_3$构成平面的法向量，$u_1$和$t_1,s_1$都垂直，所以$u_1$在$s_2,s_3$构成的平面上并且和$s_1$垂直。
也就是说$u_1$是$s_2,s_3$的线性组合，并且和s_1垂直，我们设
$u_1=r_2 s_2+r_3 s_3$,那么$r_2(s_2,s_1)+r_3(s_3,s_1)=0$
同理我们可以设
$u_2= r_4*s_3+r_2 s_1$ (每个向量实际长度不重要，只需要方向相同即可），那么$r_4(s_3,s_2)+r_2(s_1,s_2)=0$
$u_3= r_3 s_1+r_5 s_2$,那么$r_3(s_1,s_3)+r_5(s_2,s_3)=0$
后面两式相加，得出(s_3,s_2)!=0时有$r_5+r_4=0$ (所以这里隐含条件要求记$(s_2,s_3)!=0$）
由此我们得出
$u_1=r_2 s_2+r_3 s_3, u_2= r_4 s_3+r_2 s_1, u_3 = r_3 s_1-r_4 s_2$
于是$r_3 u_2 - r_4 u_1 = r_3 r_2 s_1 - r_2r_4 s_2 = r_2 u_3$所以它们线性相关。
由于三个索引可以任意选择，只要$(s_1,s_2)=0,(s_2,s_3)=0, (s_3,s_1)=0$三者有一个条件不满足就可以成立。
而三者条件如果都满足时，对应退化条件A=A',B=B',C=C',可以不予考虑。