森林救火问题

KeyTo9_Fans

森林着火了，火势以着火点为中心，以均匀的速度v1（米/秒）向四周呈圆形蔓延

消防站接到报警后，立即派出n名消防员赶往火场

到达火场时，火势蔓延的半径为r（米），被烧毁的森林面积是pi*r^2（平方米）

此时的着火带是一个圆周，初始弧度为2*pi，圆的内部已经没有火了

设v2（米/秒）是每名消防员每秒能灭掉的着火带的长度（米）

于是每经过dt秒，这些消防员都会灭掉n*v2*dt米长的着火带

其中，dt是一个趋近于0的无穷小量

而尚未被扑灭的着火带，仍然会以均匀的速度v1（米/秒）向远离圆心的方向蔓延

设t是从开始灭火算起，所经过的时长

那么着火带在t时刻的半径就是(r+v1*t)

此时再经过dt秒，被烧毁的森林面积就会增加θ*(r+v1*t)*v1*dt（平方米）

其中，θ是此时尚未被扑灭的着火带的弧度（当t=0时，θ的初值是2*pi）

而在这dt秒内，一共有n*v2*dt米长的着火带会被扑灭

这段被扑灭的着火带折算成弧度，一共是(n*v2*dt)/(r+v1*t)个弧度

因此经过这dt秒，θ的值会减小(n*v2*dt)/(r+v1*t)

当θ减小到0时，这场森林大火就完全被扑灭了

问题1：

当这场森林大火完全被扑灭时，一共有多少平方米的森林被烧毁了？

问题2：

当这场森林大火完全被扑灭时，被烧毁的区域是什么形状？如何绘制出这个形状？

问题3：

假设灭火费用是n*c1（＄），烧毁损失是S*c2（＄）

其中c1是每派出1名消防员的花费（＄）

S是被烧毁的森林面积（平方米），c2是森林的价值（＄/平方米）

那么当n等于多少时，灭火费用与烧毁损失之和(n*c1+S*c2)最小？

倪举鹏

三个图依次是两个人灭火，四个人灭火，8个人灭火，实际应用中火肯定不是只垂直圆往外烧。只有这样每两个人背靠背灭火才行。如果都朝一个方向灭火，那么火就在背后烧

倪举鹏

极坐标方程是：Sqrt[(r[\[Theta]])^2 + (r'[\[Theta]])^2] ==
D[v2/v1*(r[\[Theta]] - r), \[Theta]]
解是E^(正负((v1 \[Theta])/Sqrt[-v1^2 + v2^2])) C[1]

KeyTo9_Fans

楼主建立的数学模型好像和蚂蚁爬橡皮筋模型（https://bbs.emath.ac.cn/thread-2993-1-1.html）有相似之处：

森林的着火带就像橡皮筋一样，在匀速拉伸

消防员就像蚂蚁一样，在这个不断拉伸的橡皮筋上爬

每次爬过的弧度好像是以调和级数的规律在变化的

当这个调和级数的和达到初始弧度2*pi时，灭火工作就完成了

#####

但是经过仔细推敲后，楼主的数学模型好像是有缺陷的

尤其是当火的蔓延速度v1大于等于消防员的移动速度v2的时候

消防员实际上是无法灭火的，因为着火带跑得比消防员还快，消防员根本就跑不到着火带那里

因此楼主的这段叙述：

=========================================
这段被扑灭的着火带折算成弧度，一共是(n*v2*dt)/(r+v1*t)个弧度

因此经过这dt秒，θ的值会减小(n*v2*dt)/(r+v1*t)
=========================================

需要修正，修正后的描述如下：

==============================================
当v2<=v1时，消防员追不上蔓延的着火带，这场森林大火无法灭掉

当v2>v1时，消防员可以追上蔓延的着火带，此时每段被扑灭的着火带长度v2*dt可以分解成两个分量：

第1个分量的长度是v1*dt，用于追赶远离圆心的着火带

第2个分量的长度是sqrt((v2*dt)^2-(v1*dt)^2)=sqrt(v2^2-v1^2)*dt，用于减小θ的值

因此经过这dt秒，θ的值会减小(n*sqrt(v2^2-v1^2)*dt)/(r+v1*t)
=========================================

大家觉得上面这段修正后的描述还有没有问题？

如果没有问题，接下来按照修正后的描述来求解此题吧~