圆C的半径是几何？

LLPikaPika

如图所示，圆C相切与直径为2的半圆，与半圆C1，半圆C2互相外切，当C1和C2的半径之比为1:2时，求圆C的半径

王守恩

Solve[{(R + 2 r)^2 - (1 - 2 r + Sqrt[(1 - R)^2 - R^2])^2 == (R + r)^2 - (1 - r - Sqrt[(1 - R)^2 - R^2])^2 == R^2, 0 < r < R}, {r, R}]

{{r -> 1/12 (-3 + Sqrt[33]), R -> 2 (-17 + 3 Sqrt[33])}}

aimisiyou

0.493553……

nyy

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*以最大半圆的圆心为原点建立坐标系*)
   
3. {x1,y1}={1-r1,0}; (*r1为圆C1的半径,C1圆心坐标*)
   
4. {x2,y2}={-1+r2,0};(*r2为圆C2的半径,C2圆心坐标*)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     (r+r2)^2==(x-x2)^2+(y-y2)^2,(*两个圆外切*)
   
7.     (r+r1)^2==(x-x1)^2+(y-y1)^2,(*两个圆外切*)
   
8.     x^2+y^2==(1-r)^2,(*两个圆内切*)
   
9.     r1/r2==1/2,(*圆的半径的比例关系*)
   
10.     y==r,(*圆C与大圆的直接相切*)
    
11.     r>=0&&r1>=0&&r2>=0(*限制变量范围*)
    
12. },{r,r1,r2,x,y}]//Simplify
    
13. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
14. Grid[N@ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

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我就喜欢吊打这类题目，求解结果
\[\begin{array}{lllll}
r\to 0 & \text{r1}\to \frac{1}{2} & \text{r2}\to 1 & x\to 1 & y\to 0 \\
r\to 0 & \text{r1}\to 1 & \text{r2}\to 2 & x\to -1 & y\to 0 \\
r\to 6 \sqrt{33}-34 & \text{r1}\to \frac{1}{12} \left(\sqrt{33}-3\right) & \text{r2}\to \frac{1}{6} \left(\sqrt{33}-3\right) & x\to 6-\sqrt{33} & y\to 6 \sqrt{33}-34 \\
\end{array}\]

数值结果
\[\begin{array}{lllll}
r\to 0. & \text{r1}\to 0.5 & \text{r2}\to 1. & x\to 1. & y\to 0. \\
r\to 0. & \text{r1}\to 1. & \text{r2}\to 2. & x\to -1. & y\to 0. \\
r\to 0.467376 & \text{r1}\to 0.228714 & \text{r2}\to 0.457427 & x\to 0.255437 & y\to 0.467376 \\
\end{array}\]

王守恩

nyy 发表于 2024-12-30 13:22
我就喜欢吊打这类题目，求解结果
\[\begin{array}{lllll}
r\to 0 & \text{r1}\to \frac{1}{2} & \text{r ...

如图所示, 圆C相切与直径为2的半圆, 与半圆C1, 半圆C2互相外切, 当C1和C2的半径之比为1:2时, 求圆C的半径。

如图所示, 圆C相切与直径为2的半圆, 与半圆C1, 半圆C2互相外切, 当C1和C2的半径之比为1:k时, 求圆C的半径=用k来表示。

hujunhua

这题可以参照本坛的鞋匠刀20#的方法

Jack315

如图所示：

各圆的参数如下表所示：
\(\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{圆}&\text{圆心坐标}&\text{半径}\\
\hline 0&(0,0)&r_0\\
\hdashline 1&(a,r_1)&r_1\\
\hdashline 2&(-r_0+r_2,0)&r_2\\
\hdashline 3&(r_0-r_3,0)&r_3\\
\hline \end{array}\)
在 \(\triangle CFD\) 中有 \(r_1^2+(r0+a-r_2)^2=(r_1+r_2)^2\)
在 \(\triangle CFH\) 中有 \(r_1^2+(r0-a-r_3)^2=(r_1+r_3)^2\)
在 \(\triangle CFO\) 中有 \(r_1^2+a^2=(r_0-r_1)^2\)
设 \(r_2/r_3=k\) ,联立上述方程组解得：
\(\begin{align*}
a&=\frac{r_0}{k-1}[2(k+1)-\sqrt{k^2+14k+1}]\\
r_1&=\frac{2r_0}{(k-1)^2}[-(k^2+6k+1)+(k+1)\sqrt{k^2+14k+1}]\\
r_2&=\frac{r_0}{6}[-(k+1)\sqrt{k^2+14k+1}]\\
r_3&=\frac{r_0}{6k}[-(k+1)\sqrt{k^2+14k+1}]\\
\end{align*}\)
取 \(r_0=1,k=2\) 代入得：
\(\begin{align*}
a&=6-\sqrt{33}&=0.255437\\
r_1&=-34+6\sqrt{33}&=0.467376\\
r_2&=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}&=0.457427\\
r_3&=\frac{-3+\sqrt{33}}{12}&=0.228714\\
\end{align*}\)

解与参数 \(k\) 的关系如下图所示：

\(k\) 的取值范围为：\(0<k<\infty\) 。边界极限如下表所示：
\(\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{参数}&k\to0&k\to\infty\\
\hline a&-1&1\\
\hdashline r_1&0&0\\
\hdashline r_2&0&1\\
\hdashline r_3&1&0\\
\hline \end{array}\)

补充内容 (2025-1-4 06:13):
\(\begin{align*}  
r_2&=\frac{r_0}{6}\left[-(k+1)+\sqrt{k^2+14k+1}\right]\\  
r_3&=\frac{r_0}{6k}\left[-(k+1)+\sqrt{k^2+14k+1}\right]\\  
\end{align*}\)

nyy

Jack315 发表于 2024-12-31 11:40
如图所示：

各圆的参数如下表所示：

你的图，难道是ppt画的吗？

王守恩

Jack315 发表于 2024-12-31 11:40
如图所示：

各圆的参数如下表所示：

主帖——如图所示，圆C相切与直径为2的半圆，与半圆C1，半圆C2互相外切，当C1和C2的半径之比为1:2时，求圆C的半径

Solve[{(R + 2 r)^2 - (1 - 2 r + Sqrt[1 - 2 R])^2 == (R + r)^2 - (1 - r - Sqrt[1 - 2 R])^2 == R^2, 0 < r < R}, {r, R}]

{{r -> 1/12 (-3 + Sqrt[33]), R -> 2 (-17 + 3 Sqrt[33])}}

改一下—如图所示，圆C相切与直径为2的半圆，与半圆C1，半圆C2互相外切，当C1和C2的半径之比为1:6时，求圆C的半径

Solve[{(R + 6 r)^2 - (1 - 6 r + Sqrt[1 - 2 R])^2 == (R + r)^2 - (1 -  r - Sqrt[1 - 2 R])^2 == R^2, 0 < r < R}, {r, R}]

{{r -> 1/9, R -> 8/25}}

问——当C1和C2的半径之比为n:m(任意正整数)时，圆C的半径还会有分数解吗？ 谢谢！