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[讨论] 鞋匠刀问题

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发表于 2012-4-9 21:34:35 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在一个圆$O$半径为$R$的直径$AB$上任取一点$D$,作$DP_|_AB$,分别以$AD,DB$为直径作两个半圆$O1,O2$其半径分别为$r1,r2$.现做与$AD$,圆$O$,圆$O1$相切的圆$O3$,设半径为$r3$; 与$AD$,圆$O$,圆$O2$相切的圆$O4$,设半径为$r4$.
精华

(1) 求证:  $r3=r4$
(2) 求$r3$的计算表达式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2012-4-9 22:01:24 | 显示全部楼层
鞋匠刀问题.jpg
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发表于 2012-4-10 02:59:48 | 显示全部楼层
$R_3=R_4={R_1R_2}/R$
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 楼主| 发表于 2012-4-10 20:08:00 | 显示全部楼层
原来这个问题很简单:(设$r2>r1$)
以$D$点为原点建立直角坐标系,则$O(r2-r1,0) , O1(-r1,0), O2(r2,0) ,O3(r3,y3), O4(-r4,y4)$则可以得到如下方程
$(r3-r2+r1)^2+y3^2=(r1+r2-r3)^2....................(1)$
$(r3-r2)^2+y3^2=(r3+r2)^2..............................(2)$
$(r2-r1+r4)^2+y4^2=(r1+r2-r4)^2.....................(3)$
$(r4-r1)^2+y4^2=(r1+r4)^2................................(4)$
由$(1),(2),(3),(4)$得
$r3=r4=(r1*r2)/(r1+r2)$
$y3=2*r2*sqrt((r1)/(r1+r2))$
$y4=2*r1*sqrt((r2)/(r1+r2))$
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 楼主| 发表于 2012-4-10 20:10:52 | 显示全部楼层
现在我们讨论稍微复杂一些的问题:
在下图中求下列计算公式
鞋匠刀问题2.jpg

(1)$ r_311,r_321,r_331,r_411,r_421,r_431$
(2) $r_(31k),r_(32k),r_(33k),r_(41k),r_(42k),r_(43k)$, $k$为正整数

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wayne + 12 好帅的图啊!

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发表于 2012-4-10 21:31:35 | 显示全部楼层
数学星空 的autocad的功底很深厚啊~~
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发表于 2012-4-10 21:32:51 | 显示全部楼层
能把图的背景色 换成 白色之类的比较淡点的颜色吗
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 楼主| 发表于 2012-4-10 21:57:19 | 显示全部楼层
360截图20120410215658921.jpg
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 楼主| 发表于 2012-4-10 22:15:59 | 显示全部楼层
现摘抄几张网络上鞋匠刀问题相关的图片供大家欣赏。
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点评

用Apollonius圆填充:http://aesculier.fr/fichiersMaple/empilementsApolloniens/empilementsApolloniens.html  发表于 2014-9-15 17:57
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 楼主| 发表于 2012-4-10 22:19:57 | 显示全部楼层
续上篇:
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11050711264546109a21fe1ed6.gif
11050808103194358e4016849c.gif
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