鞋匠刀问题

王守恩

数学星空 发表于 2012-4-10 22:19
续上篇：

好帅的图啊！

邪灵

数学星空 发表于 2012-4-10 20:08
原来这个问题很简单：(设$r2>r1$)
以$D$点为原点建立直角坐标系，则[TeX]O(r2-r1,0) , O ...

感觉你的证明不完备,因为没有用到r3和r4的性质.
即圆O3与三线相切,圆O4与三线相切.------- 没用到这两个性质,怎样确定这两个是最大值?
因为 我完全可以作出 圆O3只与PD相切,与圆O2相切.

邪灵

见 2#的图.

因为4个小圆与大相切,且圆3圆4与PD相切.
所以 圆3在PAD区面积最大,圆4在PBD区面积最大.

证明:
O1×O4最大值→AD×PD
得: r1×r4=f(AD×PD)
O2×O3最大值→BD×PD
得: r2×r3=f(BD×PD)

(r1×r4)/(r2×r3)=AD/BD=2r1/2r2
r4/r3=1

r4=r3