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数论爱好者

更新几题

四来

假设 \(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}=q\) 是有理数
移项，两边立方 \((\sqrt[3]{3})^3=(q-\sqrt{2})^3\)
展开得 \(3=q^3-3q^2\sqrt{2}+6q-2\sqrt{2}\)
移项，合并整理  \(\sqrt{2}=\frac{q^3+6q-3}{3q^2+2}\)
等式右端是有理数的封闭运算仍得有理数，与左端 \(\sqrt{2}\) 是无理数矛盾，所以 \(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\) 必是无理数.

四来

这个好像只能搞个数值解吧.

四来

现如今初中就学三角函数了？

数论爱好者

四来 发表于 2025-2-13 00:10
这个好像只能搞个数值解吧.

这个值在1.7左右，但要用数学的方法解除了，超出了初中水平

nyy

数论爱好者 发表于 2025-2-10 15:19
另外两题

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
   
3. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
4. f=(heron[a,b,c])^2+x*(3a^2+2b^2+c^2-1)(*海伦公式的平方,拉格朗日乘子法*)
   
5. ans=Solve[D[f,{{a,b,c,x}}]==0,{a,b,c,x}]//FullSimplify(*求解偏导数,解方程组*)
   
6. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
   
7. aaa=Select[ans,(And[a>0,b>0,c>0]/.#)&](*只选择三边大于零的*)
   
8. bbb=Prepend[#,Sqrt[f/.#]//Simplify]&/@aaa(*第一个为面积,需要开平方*)
   

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求解结果
\[\begin{array}{llll}
a\to 0 & b\to 0 & c\to -1 & x\to \frac{1}{8} \\
a\to 0 & b\to 0 & c\to 1 & x\to \frac{1}{8} \\
a\to 0 & b\to -\frac{1}{\sqrt{3}} & c\to -\frac{1}{\sqrt{3}} & x\to 0 \\
a\to 0 & b\to -\frac{1}{\sqrt{3}} & c\to \frac{1}{\sqrt{3}} & x\to 0 \\
a\to 0 & b\to \frac{1}{\sqrt{3}} & c\to -\frac{1}{\sqrt{3}} & x\to 0 \\
a\to 0 & b\to \frac{1}{\sqrt{3}} & c\to \frac{1}{\sqrt{3}} & x\to 0 \\
a\to 0 & b\to -\frac{1}{\sqrt{2}} & c\to 0 & x\to \frac{1}{32} \\
a\to 0 & b\to \frac{1}{\sqrt{2}} & c\to 0 & x\to \frac{1}{32} \\
a\to -\sqrt{\frac{3}{22}} & b\to -\sqrt{\frac{2}{11}} & c\to -\sqrt{\frac{5}{22}} & x\to -\frac{1}{88} \\
a\to -\sqrt{\frac{3}{22}} & b\to -\sqrt{\frac{2}{11}} & c\to \sqrt{\frac{5}{22}} & x\to -\frac{1}{88} \\
a\to -\sqrt{\frac{3}{22}} & b\to \sqrt{\frac{2}{11}} & c\to -\sqrt{\frac{5}{22}} & x\to -\frac{1}{88} \\
a\to -\sqrt{\frac{3}{22}} & b\to \sqrt{\frac{2}{11}} & c\to \sqrt{\frac{5}{22}} & x\to -\frac{1}{88} \\
a\to \sqrt{\frac{3}{22}} & b\to -\sqrt{\frac{2}{11}} & c\to -\sqrt{\frac{5}{22}} & x\to -\frac{1}{88} \\
a\to \sqrt{\frac{3}{22}} & b\to -\sqrt{\frac{2}{11}} & c\to \sqrt{\frac{5}{22}} & x\to -\frac{1}{88} \\
a\to \sqrt{\frac{3}{22}} & b\to \sqrt{\frac{2}{11}} & c\to -\sqrt{\frac{5}{22}} & x\to -\frac{1}{88} \\
a\to \sqrt{\frac{3}{22}} & b\to \sqrt{\frac{2}{11}} & c\to \sqrt{\frac{5}{22}} & x\to -\frac{1}{88} \\
a\to -\frac{1}{2} & b\to 0 & c\to -\frac{1}{2} & x\to 0 \\
a\to -\frac{1}{2} & b\to 0 & c\to \frac{1}{2} & x\to 0 \\
a\to \frac{1}{2} & b\to 0 & c\to -\frac{1}{2} & x\to 0 \\
a\to \frac{1}{2} & b\to 0 & c\to \frac{1}{2} & x\to 0 \\
a\to -\frac{1}{\sqrt{3}} & b\to 0 & c\to 0 & x\to \frac{1}{72} \\
a\to \frac{1}{\sqrt{3}} & b\to 0 & c\to 0 & x\to \frac{1}{72} \\
a\to -\frac{1}{\sqrt{5}} & b\to -\frac{1}{\sqrt{5}} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to -\frac{1}{\sqrt{5}} & b\to \frac{1}{\sqrt{5}} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to \frac{1}{\sqrt{5}} & b\to -\frac{1}{\sqrt{5}} & c\to 0 & x\to 0 \\
a\to \frac{1}{\sqrt{5}} & b\to \frac{1}{\sqrt{5}} & c\to 0 & x\to 0 \\
\end{array}\]
只选择三边大于零的
带面积的求解结果
\[\left(
\begin{array}{ccccc}
\frac{1}{4 \sqrt{11}} & a\to \sqrt{\frac{3}{22}} & b\to \sqrt{\frac{2}{11}} & c\to \sqrt{\frac{5}{22}} & x\to -\frac{1}{88} \\
\end{array}
\right)\]

nyy

nyy 发表于 2025-2-13 09:49
求解结果
\[\begin{array}{llll}
a\to 0 & b\to 0 & c\to -1 & x\to \frac{1}{8} \\

把这个问题一般化，
假设约束条件为
\[\text{x1}a^2+\text{x2}b^2+\text{x3}c^2 =1\],
拉格朗日乘子法求解方程组，得到
\[\left\{\frac{1}{4} a \left(-a^2+b^2+c^2+8 x \text{x1}\right),\frac{1}{4} b \left(a^2-b^2+c^2+8 x \text{x2}\right),\frac{1}{4} c \left(a^2+b^2-c^2+8 x \text{x3}\right),a^2 \text{x1}+b^2 \text{x2}+c^2 \text{x3}-1\right\}=0\]
解方程组，排除非零解，
然后得到三边的平方分别为
\[\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\text{x2}+\text{x3}}{2 \text{x1} \text{x2}+2 \text{x3} \text{x2}+2 \text{x1} \text{x3}} & \frac{\text{x1}+\text{x3}}{2 \text{x1} \text{x2}+2 \text{x3} \text{x2}+2 \text{x1} \text{x3}} & \frac{\text{x1}+\text{x2}}{2 \text{x1} \text{x2}+2 \text{x3} \text{x2}+2 \text{x1} \text{x3}} \\
\end{array}
\right)\]
这是一般情况的解答

nyy

四来 发表于 2025-2-13 00:12
现如今初中就学三角函数了？

s^3+c^3<=s^2+c^2=1
不就是这一点技巧吗？忽悠人

数论爱好者

nyy 发表于 2025-2-13 09:49
求解结果
\[\begin{array}{llll}
a\to 0 & b\to 0 & c\to -1 & x\to \frac{1}{8} \\

点评中网址不能完整显示：
https://www.kuaishou.com/short-v ... ;area=profilexxnull

数论爱好者

nyy 发表于 2025-2-13 12:12
s^3+c^3

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