椭圆的三条等长弦

hujunhua

将△ABC沿它的各外角平分线反射出去，得到三个外围对顶三角形，可视作六边形`A_1A_2B_1B_2C_1C_2`.
作图表明六边形`A_1A_2B_1B_2C_1C_2` 有一条外接二次曲线，即下图中的红色椭圆。
在数学上求逆通常是个难题。考虑先有这个椭圆，如何找出它的三条等长弦`A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2`, 相交成这样的四个全等三角形。

mathe

        平面 3 点系统共有 6 个自由度，一条圆锥曲线(极端情况可以不是椭圆)包含5个独立约束，还剩 1 个自由度，故有连续的无穷组解，弦簇形成一条包络线。
        我们可以先寻找其中较为特殊的等腰三角形解，整个图左右对称。不妨让C在对称轴上，A2B1//AB, 这种特殊位置相对容易计算。

wayne

可以先假定三角形一个点是(0,0),一条边是x轴, 建立了坐标系, 那么确定该三角形的是三个变量, 然后六个点也确定了, 于是该圆锥曲线的方程也可以得出来.
也就是说, 正向的过程告诉我们,  三个变量 确定了这个圆锥曲线的所有系数,  如果这个方程组 是 存在 一一映射关系,那么 是可以根据 圆锥曲线逆解三角形的.

四来

几何约束，搞不好只能用算法实现个近似值。

mathe

我们可以设三角形三边长度分别为sin(A),sin(B),sin(C), 以B为原点，BC为x轴正方向，可以轻松计算出6个点坐标。
然后应该可以求出圆锥曲线方程。

hujunhua

使用重心坐标，结果更具对称性。六点基于△ABC的重心坐标分别为
$A_1(0 : c+a : -c), A_2(0 : -b : a+b)$
$B_1(-a : 0 : a+b), B_2(b+c : 0 : -c)$
$C_1(b+c : -b : 0), C_2(-a : c+a : 0)$
设椭圆在此坐标系下的齐次方程为             $a_11x^2+a_22y^2+a_33z^2+2a_23yz+2a_31zx+2a_12xy=0$
将$A_1,A_2$的坐标代入方程得
        $(c+a)^2a_22-2c(c+a)a_23+c^2a_33=0$
        $b^2a_22-2b(a+b)a_23+(a+b)^2a_33=0$
解得   $a_22  :  a_23  :  a_33=(a+b)c  :  ap+bc  :  (c+a)b$,  (*$p=(a+b+c)/2$*)
继续将$B_1,B_2,C_1,C_2$的坐标代入方程可解得
          $a_33  :  a_31  :  a_11=(b+c)a  :  bp+ca  :  (a+b)c$
          $a_11  :  a_12  :  a_22=(c+a)b  :  cp+ab  :  (b+c)a$
综合 3 式可得  $a_11  :  a_22  :  a_33  :  a_23  :  a_31  :  a_12  =  bc(a+b)(c+a)  :  ca(b+c)(a+b)  :  ab(c+a)(b+c) :  a(b+c)(ap+bc)  :  b(c+a)(bp+ca)  :  c(a+b)(cp+ab)$
所以那条二次曲线的系数矩阵是\[\begin{pmatrix}
bc(a+b)(c+a)&c(a+b)(cp+ab)& b(c+a)(bp+ca)\\
c(a+b)(cp+ab)&ca(b+c)(a+b)&a(b+c)(ap+bc)\\
b(c+a)(bp+ca)&a(b+c)(ap+bc)&ab(c+a)(b+c)
\end{pmatrix}\]

mathe

离心率好算吗？算出离心率范围就有你所要答案了

hujunhua

对于由一般直角坐标方程给出的一个圆锥曲线，可以将方程化为基于三点{（0, 1), (1, 0), (0, 0)}的面积坐标形式，然后变换到基于三角形ABC的面积坐标形式，与6#得到的曲线方程对比系数得到方程组，剩下的就是解方程。

hujunhua

mathe 发表于 2025-2-15 19:05
平面三点系统共有 6 个自由度，一条圆锥曲线(极端情况可以不是椭圆)包含 5 个约束，还剩 1  ...

弦簇形成一条包络线Ω，△ABC的顶点也划出一条曲线Γ，△ABC就在这两条曲线间形成一个类彭色列封闭（Poncelet's Closure）。解出这两条曲线，就可画出任何指定位置的封闭，这个问题就完全解决了。

既然能形成类彭色列封闭（Poncelet's Closure），也许这两条曲线都是二次曲线，那么它们应该是与原曲线同轴的。这个前景真是不错。

wayne

hujunhua 发表于 2025-2-16 02:28
使用重心坐标，结果更具对称性。六点基于△ABC的重心坐标分别为
$A_1(0 : c+a : -c), A_2(0 : -b : a+b)$
$ ...

我也计算了一下

1. f=Function[{x,y,z},a11 x^2+a22 y^2+a33 z^2+2a23 y z+2a31 z x+2a12 x y];
   
2. Factor[f[x,y,z]/.First@Solve[Thread[f@@@{
   
3. {0,c+a,-c},{0,-b,a+b},
   
4. {-a,0,a+b},{b+c,0,-c},
   
5. {b+c,-b,0},{-a,c+a,0}}==0],{a22,a33,a23,a31,a12}]]

复制代码

方程是: $a y z (b+c) \left(a^2+a b+a c+2 b c\right)+x \left(b z (a+c) \left(a b+2 a c+b^2+b c\right)+c y (a+b) \left(2 a b+a c+b c+c^2\right)\right)+b c x^2 (a+b) (a+c)+a c y^2 (a+b) (b+c)+a b z^2 (a+c) (b+c) = 0$