若给定因子个数，反求满足的最小整数

数论爱好者

已知一个正整数，可以快速求出它有多少个因子。
若求一个有100个因子的最小正整数，如何求？有一般的方法吗？有2025个因子的首个自然数是哪个？

mathe

应该$2^4\times3^4\times5^2\times7^2\times11^2\times13^2$

数论爱好者

mathe 发表于 2025-2-26 22:13
应该$2^4\times3^4\times5^2\times7^2\times11^2\times13^2$

搜了网上的答案，拥有100个因子的数是45360，是不是最小不知道。
有没有认真研究过呢，自然数1至1万竟然找不到含有8个因子的数，我是认真排序看了的，可能要10万之外才有也不知
1万里面，8640这个4位数含有662个因子，排第一
3位数是不是960含有105个因子排第一
https://oeis.org/A001055
https://oeis.org/A330972

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-2-26 23:28
搜了网上的答案，拥有100个因子的数是45360，是不是最小不知道。
有没有认真研究过呢，自然数1至1万竟然 ...

这一条跳过了有8个因子的数
https://oeis.org/A045782
下面这一条是不是说指定因子个数的整数根本永远找不到
https://oeis.org/A330976

northwolves

自然数1至1万竟然找不到含有8个因子的数?
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1. Select[Range@1000, DivisorSigma[0, #] == 8 &]

复制代码

{24,30,40,42,54,56,66,70,78,88,102,104,105,110,114,128,130,135,136,138,152,154,165,170,174,182,184,186,189,190,195,222,230,231,232,238,246,248,250,255,258,266,273,282,285,286,290,296,297,310,318,322,328,344,345,351,354,357,366,370,374,375,376,385,399,402,406,410,418,424,426,429,430,434,435,438,442,455,459,465,470,472,474,483,488,494,498,506,513,518,530,534,536,555,561,568,574,582,584,590,595,598,602,606,609,610,615,618,621,627,632,638,642,645,646,651,654,658,663,664,665,670,678,682,686,705,710,712,715,730,741,742,754,759,762,776,777,782,783,786,790,795,805,806,808,814,822,824,826,830,834,837,854,856,861,872,874,875,885,890,894,897,902,903,904,906,915,935,938,942,946,957,962,969,970,978,986,987,994,999}

northwolves

拥有100个因子的最小数是45360=2^4*3^4*5*7

northwolves

1万里面，8640这个4位数含有662个因子，排第一
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1. s = Divisors@8640; {Length@s, s}

复制代码

{56,{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,27,30,32,36,40,45,48,54,60,64,72,80,90,96,108,120,135,144,160,180,192,216,240,270,288,320,360,432,480,540,576,720,864,960,1080,1440,1728,2160,2880,4320,8640}}

1. Take[SortBy[Table[{k,DivisorSigma[0,k]},{k,Range@10000}],Last],-10]

复制代码

{{8820,54},{9900,54},{6720,56},{8640,56},{5040,60},{7920,60},{8400,60},{9360,60},{7560,64},{9240,64}}

northwolves

含有662个因子的最小数字为6561752174349035773117506681352864096059508292679637309277311819229858997598127769670539531069161472=2^330*3

northwolves

A005179
Smallest number with exactly n divisors.

1, 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, 48, 1024, 60, 4096, 192, 144, 120, 65536, 180, 262144, 240, 576, 3072, 4194304, 360, 1296, 12288, 900, 960, 268435456, 720, 1073741824, 840, 9216, 196608, 5184, 1260, 68719476736, 786432, 36864, 1680, 1099511627776, 2880

数论爱好者

northwolves 发表于 2025-2-26 23:55
A005179
Smallest number with exactly n divisors.

100的因子个数9个，1000的因子16个，1万的因子25个...
那么10^n的因子个数为：(n+1)^2个，10^100因子个数为101*101=10201个