整数边长等角六边形

iseemu2009

整数边长等角六边形

mathe

假设六边依次为a,b,c,d,e,f,
要求a-d=b-e=c-f

mathe

为了计数方便，我们可以记delta(n)在n为3的倍数为1，在n不是三的倍数为0.
我们先求b+d+f=m的非负整数解的数目，
其中b=d=f的解有delta(m)个。
而b,d,f中正好两个数相等的解数目为[(m+2)/2]-delta(m)。(要求三个数从小到大)
而b+d+f=m不限制三个数的顺序解的数目为(m+2)(m+1)/2,
所以要求三数不同而且有序数目为H(m)=((m+2)(m+1)/2-3[(m+2)/2]+2delta(m))/6.

然后假设边长等于n的不全等六边形数目为K(n),
这需要求2(b+d+f)+3h=n奇偶解的数目，其中h非负整数，b,d,f为大于0的整数。
而h的奇偶性显然必须和n相同。另外b,d,f都减1可以转化为非负整数。所以只要枚举h然后用H((n-6-3h)/2)求和即可。最后应该根据n模12的不同余数均可以给出公式解