难倒全班的初中几何题！

nyy

难倒全班的初中几何题！

nyy

(*设AE=a,CD=b,DB=c,AB=d,DF=e,AF=3e,列方程组解决问题*)

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*假设AE=a,CD=b,DB=c,AB=d,DF=e,AF=3e,列方程组解决问题*)
   
4. ans=Solve[{
   
5.     2^2+(b+c)^2==a^2,(*△BCE勾股定理*)
   
6.     (a+2)^2+b^2==(3e+e)^2,(*△DAC勾股定理*)
   
7.     (a+2)^2+(b+c)^2==d^2,(*△BAC勾股定理*)
   
8.     d/c==(a+2)/b,(*△BAC角平分线性质*)
   
9.     e/(3e)*a/2*(b+c)/c==1(*△ACD中使用梅内劳斯定理*)
   
10. },{a,b,c,d,e},PositiveReals]//FullSimplify//ToRadicals;
    
11. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

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求解结果
\[\begin{array}{lllll}
a\to 13-\sqrt{97} & b\to \sqrt{\frac{1}{3} \left(6130-622 \sqrt{97}\right)} & c\to 48 \sqrt{\frac{2}{143 \sqrt{97}+1409}} & d\to 2 \left(\sqrt{97}-7\right) & e\to \sqrt{\frac{1}{6} \left(887-89 \sqrt{97}\right)} \\
\end{array}\]
感觉结果有些复杂

hujunhua

设∠BAC=x, ，则∠BEC=2x, AE=BE=2sec2x
由梅涅劳斯定理，△ACD三边为直线BE所截的分比之积等于1，即
$sec2x·(tanx)/(tanx-tan(x/2))·1/3=1$
上述三角函数方程不难化成  $6cos^2x-cosx-4=0$
解得 $cosx=(1+sqrt(97))/12→cos2x=(13+sqrt(97))/36$
所以 $AE=2/cos(2x)=13-sqrt(97).$

王守恩

∠A=2a,  AE=BE=2/Cos[4 a],  AB=4 Cos[2 a]/Cos[4 a]。

AD=(2 + 2/Cos[4 a])/Cos[a], AF=3 (2 + 2/Cos[4 a])/(4 Cos[a])。

对△ABF施行正弦定理。AB/Sin[3 a] == AF/Sin[2 a]。

1. Solve[{4 Cos[2 a]/(Cos[4 a] Sin[3 a]) == 3 (2 + 2/Cos[4 a])/(4 Cos[a] Sin[2 a]), 2/Cos[4 a] == AE, 1 > a > 0}, {a, AE}] // FullSimplify

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{{a -> Pi/4, AE -> -2}, {a -> 2 ArcTan[Root[1 - 84 #^2 + 214 #^4 - 84 #^6 + #^8& , 5, 0]], AE -> 13 - Sqrt[97]}}

hejoseph

设 \(AE=BE=x\)，\(AB=y\)，则`BC^2=x^2-4`, 在 \(\triangle ABC\) 中应用勾股定理得 `(x+2)^2+x^2-4=y^2`, 化简得\[
2x^2+4x-y^2=0\tag1
\]由角平分线定理得\[
\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{AB}=\frac{x}{y}→\frac{EF}{BE}=\frac{x}{x+y}
\]作点 \(F\) 在 \(AC\) 上垂线的垂足\(H\)，则\[
EH=\frac{EF}{BE}\cdot CE=\frac{2x}{x+y}
\]因为 \(4AH=3AC\)，所以\[
4\left(x+\frac{2x}{x+y}\right)=3(x+2)
\]上式整理得\[
x^2+xy+2x-6y=0\tag2
\](1)-2×(2)得\[
-y(2x+y-12)=0→y=12-2x, x<6
\]代回(2)整理得\[
x^2-26x+72=0
\]解这个方程得\[
x=13\pm\sqrt{97}
\] 取 `x<6`的根即  `13-\sqrt{97}`。

hujunhua

从楼上得到的 2x+y=12 结果来看，如果这个题目改求△ABE的周长，会显得更为精致。

hejoseph

hujunhua 发表于 2025-4-12 12:57
从楼上得到的 2x+y=12 结果来看，如果这个题目改求△ABE的周长，会显得更为精致。 ...

这个题目如果指定 \(\angle C=90^\circ\)，并且已知 \(CE=a\)，\(AE:BE\) 为固定值，只有在 \(AE=BE\) 时一般才有比较简单的解，此时仍设 \(AE=BE=x\)，\(AB=y\)，若 \(AF/DF=t\)，仍用上面的方法得\[
2x+y=2at
\]并且可以导出\[
x^2-(4t+1)ax+2t^2a^2=0
\]由上面的方程可以得到 \(x\) 有简单解的情形，可以令\[
t=\frac{k_1(k_1-k_2)}{(k_1+k_2)^2-2k_1^2}
\]其中 \(k_1\)、\(k_2\) 都是整数，这里需要满足 \(\sqrt{2}-1<k_2/k_1<1\)，那么求得的 \(x\)、\(y\) 就是 \(a\) 的有理数倍。

nyy

我经常在想现在的初中几何真的这么难吗？
我感觉用初中的办法，很多题目我都做不出来

hujunhua

如图，M是AB的中点，AG=AE, AH=AM, 则直线GEI∥AD, AC⊥GH∥BC.
设AE=BE=AG=x, AB=y, 则 AH =y/2, HE=x+y/2.

3=AF/FD=GE/EI=HE/EC    ∴   HE=3EC,  即   `x+y/2=6`
AH/AC=AG/AB,     ∴      AG·AC=AH·AB   即  `x(x+2)=y^2/2`

nyy

王守恩 发表于 2025-4-12 09:42
∠A=2a,  AE=BE=2/Cos[4 a],  AB=4 Cos[2 a]/Cos[4 a]。

AD=(2 + 2/Cos[4 a])/Cos[a], AF=3 (2 + 2/Cos[4  ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*假设∠BAC=2a,则∠ABE=2a,∠DAC=a,∠BEC=4a,∠AFB=180度-3a*)
   
4. (*线段长度赋值*)
   
5. CE=2
   
6. AE=BE=CE/Cos[4a]
   
7. AB=(AE+CE)/Cos[2a]
   
8. AF=(3/4)*(AE+CE)/Cos[a]
   
9. ans=Solve[{
   
10.     AB/Sin[3a]==AF/Sin[2a],(*△ABF正弦定理*)
    
11.     0<a<45deg(*限制变量范围*)
    
12. },{a}]
    
13. (*代入求解目标线段长度*)
    
14. aaa={AE,Tan[a],Tan[2a],Tan[4a]}/.ans[[1]]//FullSimplify//ToRadicals
    

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我把你的思路与代码整理一下，这样你的代码可读性更高一些。
包括写代码的时候，思路也更清晰。

求解结果
\[\left\{13-\sqrt{97},\sqrt{\frac{1}{3} \left(10-\sqrt{97}\right)},\frac{1}{4} \sqrt{\frac{1}{2} \left(17-\sqrt{97}\right)},\sqrt{\frac{1}{2} \left(131-13 \sqrt{97}\right)}\right\}\]