两枚神奇的硬币

mathe

9#里面的$\beta(m+1,n+1)={m!n!}/{(m+n+1)!}=1/{C_{m+n}^m(m+n+1)}$,
所以我觉得从9#里面的递推式应该很容易推导出来。而且即使不推导，那个递推式本身就可以在线性时间复杂度内完成的。
上面积分计算主要使用了分部积分，还有一个现成的公式$\int_0^1x^n(1-x)^mdx=beta(n+1,m+1)$

wiley

10# KeyTo9_Fans

分母可以进一步化简为:
$\sum_{i=0}^{n_1+1}C_{m_2+i}^{m_2}C_{n_2-m_2+n_1+1-i}^{n_2-m_2}=C_{n_1+n_2+2}^{n_1+1}={(n_1+n_2+2)!}/{(n_1+1)!(n_2+1)!}$

直接的证法是考虑
$(1-x)^{-(m_2+1)}(1-x)^{-(n_2-m_2+1)}=(1-x)^{-(n_2+2)}$
左右两边$x^{n_1+1}$项的系数.

但不知道为什么分子是那个部分和的形式.