有趣的互质复数塔

056254628

互质复数塔是这样构造成的： 第一层 只有两个复数 i和1。 以后的每一层，都是以上面一层为基础，在每个相邻的复数之间填入这两个复数的和。 结果如下： 第1层 i ， 1 第2层 i ， 1+i， 1 第3层 i ， 1+2i ， 1+i， 2+i， 1 第4层 i ，1+3i，1+2i ，2+3i，1+i，3+2i，2+i，3+i， 1 . . . 引入一个函数h(a,b),它表示复数a+bi最先出现在塔上的层数。若a+bi不在塔上，那么记作h(a,b)=∞ 比如2+3i最先出现于第4层，所以h(2,3)=4. h(2,2)=∞ 引入第二个函数u(k,n),它表示第k层上实部加虚部等于n的复数的个数。 φ(n) 表示欧拉函数 fib(n) 表示斐波拉契数列 ------------------------------------------------ 互质复数塔有很多奇妙的性质： （由于0和1是特殊的两个数，以下称它们也是互质的） 性质1 塔上的任何一个复数，它的实部和虚部都是互质的。 性质2 每一层的所有复数的分布是左右对称的，中间的数都是1+i，第一个数都是i，最后一个数为1，第k层第二个数为1+(k-1)i。第k层的所有复数中实部或虚部的最大值为fib(k)。实部与虚部的和的最大值为fib(k+1) 性质3 同一层上，没有相等的复数，这些复数的幅角呈递减趋势，（换句话说复数的实部和虚部的比值即斜率的倒数呈递增趋势） 性质4 任何实部和虚部互质的复数都在这个塔上，反之都不在这个塔上。 性质5 若某复数出现在塔的某一层上，那么该复数必出现在下面的各个层上。 比如若h(a,b)=k，那么复数a+bi出现在第k层及k层下面的所有层上。 性质6 函数 h(a,b)有以下递推公式: 若a和b互质，那么$h(a,b)=max(h(a_1,b_1),h(a_2,b_2))+1$. 其中$a_1$,$b_1$,$a_2$,$b_2$满足： ⒈ $a_1$和$b_1$互质,$a_2$和$b_2$互质，且$a_1+a_2=a$ ，$b_1+b_2=b$ ⒉ $a_1/b_1性质7 $n<=k$时， u(k,n)=φ(n) n>k时， u(k,n)<φ(n) ----------------------------------------------------------------------------------- 性质4、6、7还需要被证明。 性质7其实可以用性质6来证明。 只要证明当n<=k时，所有满足a+b=n的互质对a和b， 必有 h(a,b)<=k即可证明u(k,n)=φ(n) 因为 h(a,b)<=k说明 a+bi必先出现在k层或k层的上面，所以它必出现在第k层上。 既然所有满足a+b=n的复数a+bi全部出现在第k层上，u(k,n)=φ(n)就是理所当然的。

KeyTo9_Fans

感谢楼主整理了那么多有趣的性质。 楼主辛苦了！ 我将建塔的过程制成了一张gif动画，给大家欣赏。 这张动画刚出炉，还是热的。 如果有看不明白的地方，尽管提问好了。

KeyTo9_Fans

画到8层的效果如下： 可见坐标范围是按照斐波纳契数列增长的，而每一层的点数是按照2的n次方增长的。 斐波纳契数列的增长倍率为1.618。 对于面积来说，增长倍率为1.618*1.618=2.618。 而每一层点数的增长倍率为2，比面积的增长倍率小。 所以到了后面，那些点看起来会越来越稀疏。 明天再继续画个更大的图看看效果。

056254628

楼上的动画形象、直观地给出的建它的过程。 我另外有一种方法给出一个图。 给函数u(a,b)绘图： 把u(a,b)的值标在坐标(a,b)处。 以下图是u(a,b)<=9的在19×19范围内的部分。 性质8 塔第k层的所有复数是由满足 u(a,b)<＝k的所有复数a+bi组成，顺序是按照辐角的大小按照从大到小排列而成。 这样，塔第7层的所有复数只要在上图fib(7)*fib(7)=13*13范围内找到所有值<=7的所有点，再把它们按照辐角的大小按照从大到小的顺序排列就可得到。

056254628

不用， 以下图是u(a,b)<=14的在19×19范围内的部分。

056254628

19*19范围内还有一些互质点(a,b)，在上图上没有被标出来， 比如(1,14),(1,15),(1,16),(1,17),(1,18),(1,19) 它们的u值分别为15,16,17,18,19,20 不在 u(a,b)<=14的范围内，所以没被标上。 还有(13，14),(14，15),(15，16),(16，17),(17，18),(18，19) 以及它们关于直线y=x的对称点，它们的u值都大于14而没被标上。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 19*19局部的情况也在该范围内证明了塔的性质4

056254628

从5楼的图可以看出函数u(a,b)的一些性质： 　 　 u(a,b)=u(b,a) 　 　 u(1,b)=b+1 　 　 u(2,2b-1)=2+b 　 　 u(a,a+1)=a+2 u(a,b)=u(b-a,b) b>a时

056254628

塔的性质6关于u(a,b)的递推公式，可以换成以下的说法： 以下提到的复数都是指 实部和虚部互质的复数。 性质6： 母复数a+bi，把它分成两个子复数$a_1+b_1i$，$a_2+b_2i$的和,要求这两个子复数的幅角尽可能的接近母复数. 那么 母复数的u值等于这两个子复数的u值中较大的数加上1. 即 $u(a,b)=max(u(a_1,b_1),u(a_2,b_2))+1$ 这个性质6是我在观察规律后得到的。不知是否正确。 论坛里有很多大师，不知有没有空帮我看看性质6的正确性。

056254628

性质9：函数 h(a,b) 若a和b互质，那么必有 h(a,b)<=a+b 这个很好证明：函数 h(a,b)是复数a+bi最先出现的层数，那么在这层它必是上层的两个相邻复数相加而来。这两个相邻复数必有一个也是上层相加而来的（即是新产生的复数，不是上层复制来的）。这样一直往上推，推到第1层。 而每一个新产生的复数每往上推导一次，它的实部加虚部的和至少减少1，所以，对于a+bi最多经过a+b-1次往上推导，就可推导到第一层。所以a+bi所最先出现的层数必<=(a+b-1) + 1 =a+b. 即 h(a,b)<=a+b。 当然上述推导的前提是a+bi在塔上。 而根据性质4， 任何实部和虚部互质的复数都在这个塔上。所以只要性质4成立，性质9必成立。 而用性质9证明 性质7 n≤k时， u(k,n)=φ(n) 非常容易。 因为a+b=n<=k,所以 u(a,b)<=a+b<=k.根据性质5，所有的满足a+b=n （n<=k时）的 a+bi 都出现在第k层。再根据性质3，每层上没有重复的复数，所以 u(k,n)=φ(n) 证明 n>k时， u(k,n)<φ(n)更简单，因为u(1,k)=k+1.所以a+b=n,至少有一个复数 1+ki不出现在第k层，它最先出现在k+1层。因此 u(k,n)<φ(n)

mathe

你这里的h(a,b)就是我在另外一个帖子里面提到的辗转相除法到达(1,0)的次数.它必然不超过a,b的最大值加1(因为你这里的定义前面又添加了额外一层