有趣的互质复数塔

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互质复数塔是这样构造成的：
第一层 只有两个复数  i和1。
以后的每一层，都是以上面一层为基础，在每个相邻的复数之间填入这两个复数的和。
结果如下：
第1层        i ，                                                                                         1
第2层        i ，                                         1+i，                                     1
第3层        i ，             1+2i ，              1+i，              2+i，            1
第4层        i ，1+3i，1+2i ，2+3i，1+i，3+2i，2+i，3+i， 1
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    .
    .
引入一个函数h(a,b),它表示复数a+bi最先出现在塔上的层数。若a+bi不在塔上，那么记作h(a,b)=∞
              比如2+3i最先出现于第4层，所以h(2,3)=4.   h(2,2)=∞
引入第二个函数u(k,n),它表示第k层上实部加虚部等于n的复数的个数。
φ(n)   表示欧拉函数
fib(n) 表示斐波拉契数列
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互质复数塔有很多奇妙的性质：
（由于0和1是特殊的两个数，以下称它们也是互质的）
性质1    塔上的任何一个复数，它的实部和虚部都是互质的。
性质2    每一层的所有复数的分布是左右对称的，中间的数都是1+i，第一个数都是i，最后一个数为1，第k层第二个数为1+(k-1)i。第k层的所有复数中实部或虚部的最大值为fib(k)。实部与虚部的和的最大值为fib(k+1)
性质3    同一层上，没有相等的复数，这些复数的幅角呈递减趋势，（换句话说复数的实部和虚部的比值即斜率的倒数呈递增趋势）
性质4    任何实部和虚部互质的复数都在这个塔上，反之都不在这个塔上。
性质5    若某复数出现在塔的某一层上，那么该复数必出现在下面的各个层上。
            比如若h(a,b)=k，那么复数a+bi出现在第k层及k层下面的所有层上。
性质6   函数 h(a,b)有以下递推公式:
         若a和b互质，那么$h(a,b)=max(h(a_1,b_1),h(a_2,b_2))+1$.     
        其中$a_1$,$b_1$,$a_2$,$b_2$满足：
                   ⒈    $a_1$和$b_1$互质,$a_2$和$b_2$互质，且$a_1+a_2=a$ ，$b_1+b_2=b$
                   ⒉    $a_1/b_1<a/b<a_2/b_2$
                   ⒊    $a_1/b_1$与$a/b$的差值是所有满足上面两个条件中最小的
    比如   a=7,b=4
             满足上述1、2条件的只有以下两种
                            $5/3<7/4<2/1$
                            $4/3<7/4<3/1$
             但为了满足条件3，只有选择   $5/3<7/4<2/1$
           所以h(7,4)=max(h(5,3),h(2,1))+1
                    而h(5,3)=5，h(2,1)=3，所以h(7,4)=max(5,3)+1=6.
             所以7+4i最先出现在塔的第6层。也说明复数7+4i是由复数5+3i和2+i相加而来的。
性质7    $n<=k$时， u(k,n)=φ(n)
               n>k时，   u(k,n)<φ(n)
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性质4、6、7还需要被证明。
性质7其实可以用性质6来证明。
    只要证明当n<=k时，所有满足a+b=n的互质对a和b， 必有 h(a,b)<=k即可证明u(k,n)=φ(n)
      因为 h(a,b)<=k说明  a+bi必先出现在k层或k层的上面，所以它必出现在第k层上。
    既然所有满足a+b=n的复数a+bi全部出现在第k层上，u(k,n)=φ(n)就是理所当然的。

KeyTo9_Fans

感谢楼主整理了那么多有趣的性质。

楼主辛苦了！

我将建塔的过程制成了一张gif动画，给大家欣赏。



这张动画刚出炉，还是热的。

如果有看不明白的地方，尽管提问好了。

KeyTo9_Fans

画到8层的效果如下：



可见坐标范围是按照斐波纳契数列增长的，而每一层的点数是按照2的n次方增长的。

斐波纳契数列的增长倍率为1.618。

对于面积来说，增长倍率为1.618*1.618=2.618。

而每一层点数的增长倍率为2，比面积的增长倍率小。

所以到了后面，那些点看起来会越来越稀疏。

明天再继续画个更大的图看看效果。

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楼上的动画形象、直观地给出的建它的过程。
我另外有一种方法给出一个图。
给函数u(a,b)绘图：
    把u(a,b)的值标在坐标(a,b)处。
以下图是u(a,b)<=9的在19×19范围内的部分。


性质8    塔第k层的所有复数是由满足 u(a,b)<＝k的所有复数a+bi组成，顺序是按照辐角的大小按照从大到小排列而成。
这样，塔第7层的所有复数只要在上图fib(7)*fib(7)=13*13范围内找到所有值<=7的所有点，再把它们按照辐角的大小按照从大到小的顺序排列就可得到。

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不用，
以下图是u(a,b)<=14的在19×19范围内的部分。

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19*19范围内还有一些互质点(a,b)，在上图上没有被标出来，
比如(1,14),(1,15),(1,16),(1,17),(1,18),(1,19)
它们的u值分别为15,16,17,18,19,20     不在   u(a,b)<=14的范围内，所以没被标上。
还有(13，14),(14，15),(15，16),(16，17),(17，18),(18，19)
  以及它们关于直线y=x的对称点，它们的u值都大于14而没被标上。
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19*19局部的情况也在该范围内证明了塔的性质4

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从5楼的图可以看出函数u(a,b)的一些性质：
     　 　  u(a,b)=u(b,a)
     　 　  u(1,b)=b+1
     　 　  u(2,2b-1)=2+b
     　 　  u(a,a+1)=a+2
                u(a,b)=u(b-a,b)    b>a时

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塔的性质6关于u(a,b)的递推公式，可以换成以下的说法：
             以下提到的复数都是指 实部和虚部互质的复数。
性质6：
    母复数a+bi，把它分成两个子复数$a_1+b_1i$，$a_2+b_2i$的和,要求这两个子复数的幅角尽可能的接近母复数.
那么 母复数的u值等于这两个子复数的u值中较大的数加上1.
    即  $u(a,b)=max(u(a_1,b_1),u(a_2,b_2))+1$
这个性质6是我在观察规律后得到的。不知是否正确。
论坛里有很多大师，不知有没有空帮我看看性质6的正确性。

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性质9：函数 h(a,b)   若a和b互质，那么必有   h(a,b)<=a+b
  这个很好证明：函数 h(a,b)是复数a+bi最先出现的层数，那么在这层它必是上层的两个相邻复数相加而来。这两个相邻复数必有一个也是上层相加而来的（即是新产生的复数，不是上层复制来的）。这样一直往上推，推到第1层。
而每一个新产生的复数每往上推导一次，它的实部加虚部的和至少减少1，所以，对于a+bi最多经过a+b-1次往上推导，就可推导到第一层。所以a+bi所最先出现的层数必<=(a+b-1) + 1 =a+b.
即   h(a,b)<=a+b。
当然上述推导的前提是a+bi在塔上。
而根据性质4， 任何实部和虚部互质的复数都在这个塔上。所以只要性质4成立，性质9必成立。
而用性质9证明 性质7    n≤k时， u(k,n)=φ(n) 非常容易。
    因为a+b=n<=k,所以 u(a,b)<=a+b<=k.根据性质5，所有的满足a+b=n  （n<=k时）的 a+bi
  都出现在第k层。再根据性质3，每层上没有重复的复数，所以  u(k,n)=φ(n)
证明 n>k时，  u(k,n)<φ(n)更简单，因为u(1,k)=k+1.所以a+b=n,至少有一个复数 1+ki不出现在第k层，它最先出现在k+1层。因此 u(k,n)<φ(n)

mathe

你这里的h(a,b)就是我在另外一个帖子里面提到的辗转相除法到达(1,0)的次数.它必然不超过a,b的最大值加1(因为你这里的定义前面又添加了额外一层