一道数论证明题

gxqcn

若x, y, (x^2 +y^2 +6)/(xy) ，是正整数 ，证明：(x^2 +y^2 +6 )/(xy) 是完全立方数。

转自：http://tieba.baidu.com/f?kz=699483434

wayne

设x^2 +y^2 +6 =pxy
两边对2取模分析，得知只有一种情况：
x=2m+1,y=2n+1,p=8k

mathe

如wayne设$x^2+y^2+6=8kxy$,得到$(x-4ky)^2-(16k^2-1)y^2+6=0$
设$X=x-4ky$,化成Pell方程$X^2-(16k^2-1)y^2=-6$
也就是问Pell方程$X^2-DY^2=-6$对于哪些D有解

mathe

现在可以证明了,对于$D=16k^2-1$,两分数展开为$[4k-1,\bar{1,4k-1}]$也就是循环节为2.
使用http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html的记号得到
$a_0=k-1,a_1=1,p+0=k-1,p_1=k$
$P_0=0,P_1=k-1,Q_0=1,Q_1={D-P_1^2}/{Q_0}=8k-2,P_2=a_0Q_0-P_1=0,Q_2=1$
于是只有$Q_1=6$的时候,方程$X^2-DY^2=-6$才有整数解,也就是只有k=1时才有整数解.

hujunhua

此种对称方程，无须Pell方程与连分数知识，巧妙使用韦达定理就够了。

证：记$(x^2+y^2+6 )/(xy)=p$, 有丢番图方程
$x^2-pxy+y^2=-6$
不妨设x≤y. 易知x,y皆为6m±1型的数。
    对任意的解(x,y)，另有(x,Y)满足方程，并且
$y+Y=px$…………………………………………(1)
$yY=x^2+6$…………………………………………(2)
显然方程无零解，只要(x,y)是正整数解，那么(x,Y)亦是正整数解。
易证∆$=(p^2-4) x^2-24$≠0,   所以y≠Y,   不妨令Y>y.
设(x,y)为使x最小的正解，那么y≥x,Y≥x+2, 代入(2)式得
$x^2+2x$≤$x^2+6$→x=1
将x=1代入（2）式得        yY=7→y=1, Y=7,    所以$p=y+Y=1+7=8=2^3$

用完全类似的方法，可以证明
1)$x,y,(x^2+y^2+1 )/xy$若皆为正整数，则p=3
2)$x,y,(x^2+y^2 )/(xy-1)$若皆为正整数，则p=5

ztfreedom

楼上皆强人，学习了

mathe

此种对称方程，无须Pell方程与连分数知识，巧妙使用韦达定理就够了。

证：记(x^2+y^2+6 )/(xy)=p, 有丢番图方程
x^2-pxy+y^2=-6
不妨设x≤y. 易知x,y皆为6m±1型的数。
    对任意的解(x,y)，另有(x,Y)满足 ...
hujunhua 发表于 2010-1-24 04:14

方法很不错，不过有瑕疵。
假设(x,y)是使x最小的正解，那么$y>=x,Y>=x+2$是如何得出的？即使得出$\Delta!=0$,也不过是$Y>=x+1$.
此外$x^2+2x<=x^2+6$只能得出$x<=3$而不是$x=1$.
倒是$pxy=x^2+y^2+6>=2xy+6>2xy$可以直接得出$p>=3$
由此，我们得出对于最小的x,有$y+Y>=3x,y>=x$,于是$x^2+6=yY>=2x^2$直接得出$x<=2$

hujunhua

呵呵，前面已经交代了，x,y都是6m±1型的数，所以如果Y>y, 自然是Y≥y+2.
x≤3，又是6m±1型的数，自然只有x=1.

不好意思，我写得简略了一点。诸如x, y与6互质，△≠0, p>2,  以及方程有向两个方向无限延伸的解序列等都省略了。

mathe

$\Delta>0$的证明显然是省略了，不过这一步还是用我7#改善的方法好一些。倒是我没有注意的到6m±1型。不过如果已经得出x=1或2,直接代入会更加简单一些

hujunhua

“对于最小的x,有y+Y≥3x, y≥x, 于是x²+6=yY≥2x²直接得出x≤2”

这步有问题，从y+Y≥3x, y≥x并不能得到Y≥2x, 如何得到yY≥2x²？

看来mathe是个追求简捷、完美的人，那我尽力给个简捷、完整一点的证明吧。

证明：记p=(x²+y²+6)/xy,  得丢番图方程 x²-pxy+y²=-6
当x=y时，有x²(2-p)=-6, 解得x=y=1, p=8是个立方数.
以下证明只有p=8.  用反证法。
假定p≠8，那么x≠y.  令y>x≥1不失一般性.
方程另有一解(x,Y), 使得
y+Y=px
yY=x²+6
设(x,y)是最小正解，那么Y≥y≥x+2（因x,y显然皆为奇数）
x²+6=yY≥(x+2)², 得x≤1/2，与x≥1矛盾，故假设不成立。