二体问题的微分方程，求解

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在天体力学中有一组微分方程 ${d^2 x}/{dt^2}=-k/r x$ ${d^2 y}/{dt^2}=-k/r y$ ${d^2 z}/{dt^2}=-k/r z$ $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 如何求解？？这是一个二阶非线性微分方程。 用计算机可以求不？

mathe

这是标准的线性微分方程，属于Possion方程吧，很容易求解的

mathe

晕，r不是常数，是不是变换一下坐标会好一些？

wayne

这个是在于人，而不在于工具的。 对于某些人来说，不管什么形式的方程组，都能用计算机进行数值求解。

wayne

其实这个方程组非常好解： 对于${d^2 x}/{dt^2}=-k/r x$ 可以设p=dx/dt,那么，就有p*dp/dx=-k/r x ，接下来就容易了。。。

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其实这个方程组非常好解： 对于{d^2 x}/{dt^2}=-k/r x 可以设p=dx/dt,那么，就有p*dp/dx=-k/r x ，接下来就容易了。。。 wayne 发表于 2010-1-28 13:51

问题是r不是常数，$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

wiley

楼主可以找一本经典力学, 读一下中心势场. 大概的思路是: 可以证明运动的轨迹必然是在一个平面, 之后用极坐标, 然后由初始条件, 从能量和角动量守恒得到一个半径关于角度的一阶微分方程, 你给的这个势场没有解析解(我不能确定是不是椭圆积分), 但总可以数值解.

mathe

如果刚开始的速度向量加上两点连线就是不共面的，如何保证轨迹共面呢？

wiley

楼主给的是一个粒子的运动方程. 如果楼上指的两点是初始位置和中心, 那么它们的连线和初始速度就确定了一个平面 (除非重合, 那么直线运动). 如果是想两体问题的话, 总是先取质心系, 然后分离成两个独立的单体问题: 质心的运动和相对运动. 这两个运动可以都是中心势, 但不一定共面, 但各自的运动的是在一个平面的.

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我不知道这个的具体情况如何，但是如果取z=0的话，运动轨迹是一个椭圆，因而应该有解析解的吧（我不确定）。 这是天体力学的二体问题，我只找到了积分，没有结果，但是根据它的描述，应该有肯定的精确结果的。