方程变换问题

282842712474 · 发表于 2010-1-28 19:38:44

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抱歉，最近问题多了点......都是超出高中范围的，所以要和大家探讨下。高等数学方面还需要大家多多指教！对于所有的n次方程： $x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+...+a_n =0$ 是否都可以通过设$x=f(y)$或者$y=F(x)$变换成： $y^n+p_1 y^{n-1}+p_2 y^{n-2}+...+p_n =0$ ？？？？其中$p_i$是预先给定的常数。而f(y)或F(x)是最高次数小于n的函数

282842712474 · 发表于 2010-1-29 09:19:26

还要说一下：预先给定的$P_i$是非常数项的系数，常数项可变。变化的可以多次，例如设x=py+q，然后y=kz+f ....等

mathe · 发表于 2010-1-29 09:25:12

不可以

wayne · 发表于 2010-1-29 09:27:42

难道不是系数对应相等？我好像没看明白楼主的意思~~

mathe · 发表于 2010-1-29 09:32:41

晕，还常数项可以任意，而且没有限定为有理数域。不过很显然，无论如何变换，保持多项式次数不变，那么必须是线性变换。当然，如果只需要保持多项式的根，那么就是另外一回事，这个应该可行。

wayne · 发表于 2010-1-29 09:34:43

，发现mathe 又一次用到了让我感觉格外惊奇的字

数学星空 · 发表于 2010-1-29 09:34:59

显然是不可以,例如:著名的希尔伯特的23个问题之一: 13. 用两个变量解一般的七次方程的不可能性方程论和实函数理论七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于三个参数a、b、c；x=(a，b，c)是否能用两个变量的函数表示出来？1957年，苏联数学家阿诺尔德解决了连续情形。1964年，他的同胞维土斯金又推广到连续可微情形。如要求是解析函数，则问题仍未解决。

mathe · 发表于 2010-1-29 09:35:36

那个字格外惊奇了？

wayne · 发表于 2010-1-29 09:36:57

282842712474 · 发表于 2010-1-29 09:51:01

在维基上,我看到任何五次方程都可以变换成$x^5+px+q=0$的形式，而很明显，这个形式又可以变成诸如$y^5+y+k=0$的只有一个变量的式子，于是就心生想法：能不能由我来指定一些非常数项的系数，然后变换成我所需要的形式？ http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B

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