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发表于 2010-1-31 23:03:12
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1.仿射变换
通常我们经常遇到的几何变换有平移,旋转,拉伸等。此外,还有一种变换(skewing,中文名字我忘了)如
${(x'=x+y),(y'=y):}$,这些变换组合在一起就形成了仿射变换。从代数上来看,仿射变换其实就是线性空间中的线性变换,
假设变换前列向量为$v$,变换后为$v'$,变换过程可以写成$v'=Av+b$,其中b是一个任意列向量,A是一个可逆矩阵。
仿射变换的特点之一是对于任何一条直线上两段线段,变换前后两段线段长度的比例保持不变。而平行线经过仿射变换后还是平行。
此外,对于圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线),仿射变换具有不变性,也就是椭圆(包含特例圆)经过仿射变换后还是椭圆,
双曲线经过仿射变换还是双曲线,同样,抛物线的仿射变换还是抛物线。
而且很显然,对于任意椭圆,我们可以通过仿射变换变成特殊形式:一个圆(只要在短轴方向进行拉伸就可以了)
2.齐次坐标
对于笛卡尔坐标下的一个点$(x,y)$,其齐次坐标可以写成$(kx,ky,k)$,其中k可以是任意一个非0的实数。也就是任何一个点的齐次坐标表示是不唯一的。
(同样对于三维空间的点,我们可以用包含4个数的齐次坐标表示)。在笛卡尔坐标系下,我们会使用方程$ax+by+c=0$表示一条直线。而对应在齐次坐标系
下面,点的坐标写成$(x,y,z)$,那么直线方程对应可以写成$ax+by+cz=0$,或者有时我们会直接用直线的齐次坐标$[a,b,c]$来表示.而使用这种方法,
我们可以发现这条直线上除了正常的点以外,还有点$(-bk,ak,0)$也满足条件,而这个点我无法在平面坐标上表示出来,我们称这种点为无穷远点。
我们可以发现,对于一族平行的直线${ax+by+uz=0|"for any " u}$,它们都经过无穷远点$(-bk,ak,0)$.于是我们得到,无穷远点其实是一族平行线的交点。
而在这种定义之下,射影平面上有一个良好的性质:任意两条直线之间有且只有一个交点(而平行线的交点为无穷远点)。
此外,不同方向的平行线交出的无穷远点不同,所有这些无穷远点构成直线$z=0$,或$[0,0,k]$,我们称这条直线为无穷远直线。
3.投影变换
从几何上来说,我们任意选择一个源平面和一个目的平面以及一个投影中心,将源平面上任意一点映射为它和投影中线的连线同目的平面的交点就是一个投影变换。
从齐次坐标的表示来看,投影变换很简单,它就是齐次坐标对应的一个线性变换。也就是存在一个3*3可逆矩阵A,使得$(x',y',z')=(x,y,z)A$.
投影变换的复合变换是射影变换,所以任意射影变换都是齐次坐标上的一个线性变换。
而给定4个点${A,B,C,D}$和${A',B',C',D'}$,如果每组内部任意三点不共线,那么必然存在一个唯一的射影变换,将A变换为A',B变换为B',C变换为C',D变换为D'.
同样,给定4条直线${a,b,c,d}$和${a',b',c',d'}$,如果每组内任意三线不共点,同样存在唯一的射影变换,将它们对应变换。
也就是给定4个没有三点共线的点的映射可以确定一个射影变换。同样给定4个没有三线共点的直线的映射可以确定一个射影变换。
而仿射变换可以看成射影变换的一个特例
如下图,设投影中心为圆锥顶点,那么在投影变换下,抛物线,椭圆和双曲线可以相互转化(不同曲线和同一条母线的交点相互对应)
4.交比不变性
对于一条直线上的4个点$A,B,C,D$,交比$[A,B;C,D]$定义为${\bar{AC}:\bar{BC}}/{\bar{AD}:\bar{BD}}$.其中线段上面加横线表示是有向线段。
射影变换的一个重要性质就是保持交比的不变性。利用投影变换的几何意义很容易证明这个性质,假设O是投影中心,将直线l上4个点$A,B,C,D$投影成直线$l'$上四个点
$A',B',C',D'$,那么两条直线上的4个点的交比都可以转化为4个三角形有向面积的比(比如$\bar{AC}:\bar{BC}$等于三角形PAC和PBC的有向面积之比。
然后我们对面积利用正弦定理可以转化为两边和夹角正弦的乘积,如三角形PAC的面积为$1/2*PA*PC*sin/_APC$.代入交比的公式可以消去所有的边,于是结果只同直线
PA,PB,PC,PD的夹角有关。由于上面交比可以只同4个共点直线之间夹角相关,我们可以同样定义4个共点直线的交比,就是任意做一条直线同它们相交得到4个交点的交比。
而交比为-1的4个点具有非常良好的性质。比如给定直线AB,取C为AB的中点,D为这条直线上的无穷远点,那么$[A,B;C,D]=-1$.
同样,对于两条相交的直线a,b,它们的两条角平分线为c,d,那么交比$[a,b;c,d]=-1$ (这个可以利用前一个结论得到,任意作d的平行线e,直线a,b,e构成等腰三角形,c为高
于是直线e和直线a,b,c,d的交点正好是一个中点一个无穷远点,所以交比为-1)
利用交比不变性,我们就可以通过投影变换证明一些比较有趣的命题:
i)如果直线AB//CD,AD和BC交于E,AC和BD交于F,EF交AB于G,那么AG=BG.
证明,设AB和CD交于无穷远点H,通过射影变换将EH变换成无穷远直线,变换后,AB//CD,AD//BC,于是ABCD是平行四边形,F是平行四边形中心,EF平行边AD,所以平分边AB
而由于投影变换保持四点ABGH的交比不变,所以变换前G也是AB的中点。
ii)三角形的三个外角平分线同对边的交点共线。
我们将它两个外角平分线同对边交点投影到无穷远,由于两边和对应角的平分线和内角平分线交比为-1,投影后,对应两个角角平分线变成中线。于是第三个角的角平分线也变成
对应边的中线,对应回去,对应的外角平分线和对边的交点也投影到无穷远,于是变换后这三个交点共线(在无穷远线上),所以变换前必然共线。
iii)我们无法通过给定两条线和不在两线上的两个点来确定投影变换。
连接两个点交两条线得出两个交点,这4个点共线,由于投影变换保持交比不变,如果原始给出的这些点的映射的交比和原始四点的交比不同,那么必然无解。
而如果交比相等,那么相当于4个点中有一个点的条件是多于的,等于只给出两条直线和一个点的映射,是无法唯一确定投影变换的(可以在添加一条直线的映射) |
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