射影几何简介

mathe

链接 http://tieba.baidu.com/f?kz=975260356 中建立一个可以让指定一点保角(过这点直线映射到本身)的射影变换,挺有用的 定理：对于平面上给定一点P和不过P的任意直线l,存在射影变换将过P点的直线映射到自身，将l映射为无穷远直线。 为方便起见，不仿假定P为原点，l的方程为ax+by+1=0 于是我们构造变换 $A=[(1,0,0),(0,1,0),(a,b,1)]$ 于是我们计算知道$A^-1=[(1,0,0),(0,1,0),(-a,-b,1)]$ 而任意一条过原点的直线$sx+ty=0$，齐次坐标[s,t,0]变换$[s,t,0]A^-1=[s,t,0]$,即保持不变 或者我们从另外一个角度来看，点(u,v,1)被映射到(u,v,ua+vb+1),也就是这个点和原点连线的斜率不变，所以过原点的直线被映射到自身。 而l的方程是矩阵A的最后一行，所以l被映射到无穷远直线。 特别的,存在一个射影变换,将过圆锥曲线一个焦点的所有直线映射到自身,圆锥曲线正好映射成圆,而焦点映射成圆心. 实际上，我们选择保过焦点直线的方向都不变，而将对应的准线映射到无穷远直线，就可以满足条件 如图圆锥曲线焦点F和准线l,过F做l垂线交l于O,OF交曲线于D,过F做AF平行l交曲线于A 连接OA交D点关于l的平行线于H 于是我们知道AF/OF=DF/OD=e(离心率) 于是得到HD/AF=OD/OF=DF/AF,所以HD=DF 也就是角HFD是45度角。 于是我们知道对于F点保角并且将l投影到无穷远的直线中，AH和HD被投影成两条相互垂直的切线， 而且长度相等，也就是目标椭圆的外切矩形是正方形，它显然是圆

mathe

链接 http://tieba.baidu.com/f?kz=975373920 中提供了一个双曲线的“八点圆”问题。同样对于椭圆也有类似的“八点圆”。于是我们可以有下面的结论： 对于任意圆锥曲线以及内部两个点，存在射影变换将圆锥曲线变成椭圆(双曲线),并且那两个固定点变成它的两个焦点。 如图，对于圆锥曲线内部两个点F1,F2,我们做F1F2的极点Y,连接YF1,YF2分别交圆锥曲线于A,C和B,D。完全四边形ABDC的另外两组对边分别交于直线F1F2上两个点O和X.分别过A,B做圆锥曲线切线交于OY上一点T.五点T,A,B,F1,F2确定一个唯一的圆锥曲线$Gamma_2$. 假设O在$Gamma_2$内部，X在外部 做射影变换将$Gamma_2$变化成圆，X变换成无穷远点(1,0,0),而将$Gamma_2$上点变成(0,1),那么得出的结果就是将原曲线变成椭圆，F1,F2变成焦点。 同样，如果改成A和D的切线的交点T'和A,D,F1,F2确定的圆锥曲线，O将在外部,X在内部。同样可以变换成圆，O变换成(1,0,0),而T'变换成(0,1),于是原曲线变成双曲线，F1,F2变成焦点

wayne

昨天把共形影射看进去了。 过几天再买本射影几何的书来看，看看mathe讲的是不是正确的

wayne

今天下午买到了一本书《高等几何》，梅向明，刘增贤等四人编著的 现在开始看，在此做个记号，看我花多长时间看完

zgg___

如果能塌下心来看，一个月一定大有收获，呵呵。 接下来就是在长期实践中的将学习的内容融汇贯通了，呵呵。

mathe

射影变换可以看成齐次坐标系下的线性变换。 而相对应的，齐次坐标系下的特殊二次变换可以构成（直线或二次曲线上的）二次对合变换: http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... fromuid=20#pid34855 这个可以在看完射影几何后在看

mathe

链接 http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 2994&fromuid=20 给出了关于双圆锥曲线一个有趣的结论：
假设两圆锥曲线对应系数矩阵分别为对称阵J,K,如果$M=J^-1K$的三个特征值互不相同为$r_1,r_2,r_3$对应单位特征向量为$v_1,v_2,v_3$,那么变换
$U=[v1,v2,v3]$可以将矩阵J,K同时对角化，特别的存在射影变换将曲线J变换为单位圆$x^2+y^2=1$,而将曲线K变换为$r1*x^2+r2*y^2=r3$
但是那里没有分析特征值有重根的情况如何处理。我们现在看看能否重新分析一下。
对于两条圆锥曲线J,K,我们直接考虑复二维空间，分析两曲线的交点情况，那么有一下几种情况:
i)J,K相切
ii)J,K有四个不同的交点
情况ii)比较简单，四个交点构成的四边形三组对两边交点中，每个点对于两圆锥曲线的极线都是另外两个交点的连线。我们可以做射影变换变换将其中一个交点变化为原点
另外两交点分别变换为两坐标轴上无穷远点。于是两条曲线都变化为中心在原点而且以两坐标轴为对称轴的圆锥曲线。于是两曲线矩阵形式都是对角阵。
第一曲线变换为$x^2+y^2=1$,第二曲线变换为$ax^2+by^2=1$,对应矩阵M为$[(a,0,0),(0,b,0),(0,0,1)]$。于是三个特征值相等对应a=b=1,是两条曲线重合情况。
而两个特征值相等，对应a=b或a=1或b=1.后两种情况曲线相切于(1,0)或(0,1)，前面一种对应同心圆，相当于两曲线相切于两个虚无穷远点$(1,i,0),(1,-i,0)$。所以都不属于第二种情况。
也就是说，如果两曲线有四个不同交点（包含虚交点），必然三个特征值不同。

情况i)比较复杂，如果J,K有两个不同的切点。我们可以直接将一条曲线变化为单位圆，并且将两切线分别变换为直线y=1和y=-1.由此变换后两条曲线方程方别为
$x^2+y^2=1$和$ax^2+y^2=1$,同样是对角阵。对应$M=[(a,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]$,所以M有两个重根。而且这个变换直接是实变换，所以这种情况我们同样有办法将两条曲线的矩阵同时对角化。

如果J,K只有一个切点，另外还有两个交点，我们同样将J变化为单位圆，切点变化为(0,1),另外两个交点变化为(1,i,0),(1,-i,0),于是K也变换成圆，
而且和单位圆相切于(0,1),但是这种图形无法变换成两条中心在原点的圆锥曲线。而这时$J=[(1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1)],K=[(1,0,0),(0,1,-b),(0,-b,2b-1)],M=[(1,0,0),(0,1,-b),(0,b,1-2b)]$
对应特征方程$(x+b-1)^2(x-1)$,也就是这时$r_1=r_2=1-b,r_3=1$

还有一种特殊情况是J,K有一个三重或四重切点的情况，对应将J变换为单位圆，切点为(0,1)后，根据二次曲线系理论，K的方程应该可以分别些微
$x^2+y^2-1+u(y-1)(x+y-1)=0$和$x^2+y^2-1+u(y-1)^2=0$
于是对应矩阵分别为
$M=[(1,u/2,-u/2),(u/2,u+1,-u),(u/2,u,-u+1)]$和$M=[(1,0,0),(0,u+1,-u),(0,u,-u+1)]$
对应特征方程都是$(x-1)^3=0$
也就是如果三个特征值相等，必然对应有三重以上切点的情况，也无法变换为中心在原点的两条圆锥曲线。

zuijianqiugen

mathe 发表于 2010-1-31 23:03
1.仿射变换
通常我们经常遇到的几何变换有平移，旋转，拉伸等。此外，还有一种变换(skewing,中文名字我忘 ...

看了射影几何简介，感觉理论概括太深了，叫人看不下去。看来只有系统学习才能理解。

mathe

链接共格尔刚点的俩三角形的一楼注释中，我们发现给定一条圆锥曲线上的对合变换，似乎可以扩展为全平面上一个射影变换。
对于一般情况下，这种性质是否成立呢？如果确定的是射影变换，那么这个射影变换会有什么特性呢？
我们知道圆锥曲线上的对合变换的对应点的连线会经过顶点。假设给定圆锥曲线C上对合变换，使得其上的点G和H对合，I和J对合，那么直线GH和IJ的交点K就是对合中心，也就是过K的任何直线和曲线C的两个交点对合。
另外一方面，由于对于射影变换只有8个自由度，所以如果指定平面上四个点和它的像，就可以唯一确定这个射影变换。所以给定圆锥曲线和它其上二组对合点(G,H), (I,J),那么这个对合变换如果能够扩展为射影变换，这个变换必然G->H, H->G, I->J, J->I,所以已经确定了四个点的像，这个射影变换必然已经唯一确定。
但是由于我们知道过给定四个点G,H,I,J的圆锥曲线有无穷条（二次曲线系），而另外对于圆锥曲线的对合变换，两组对合的点的选择也很自由，有很多种不同的选择，所以看起来圆锥曲线上的对合变换通常情况应该无法扩展为射影变换。
但是如果我们现在选择分别将G,H,I,J通过射影变换变换到点(-1,1), (1,-1), (-1,-1),(1,1), 那么K变为原点，曲线C变化为关于坐标轴对称的“标准曲线”。而对应的对合变换变化为关于原点K中心对称的变换，这显然可以扩展为全平面上关于原点中心对称的对合变换。
由此我们可以推断出在射影变换前，曲线C上的对合变换必然可以扩展为全平面上的对合变换。
现在我们知道上面的对合变换扩展过程中和两组对合变换点的选择无关，于是可以得出比较有意思的结论:
g.ggb (52.35 KB, 下载次数: 0)

2021-5-23 15:48 上传

点击文件名下载附件

如上图，绿色圆锥曲线过点G,H,I,J， 直线GH和IJ交于点K。给定平面上点L,
过K点做任意直线交绿色曲线于M,N两点。那么I,J,M,N,L五点确定的虚线圆锥曲线和I,J,G,H,L确定的蓝色圆锥曲线交于定点O(即O和M,N的选择无关），而且L,K,O三点共线。
我们通过将I,J,G,H射影到关于坐标对称的点得到如下图:
s.ggb (53.97 KB, 下载次数: 1)

2021-5-23 15:27 上传

点击文件名下载附件

特别的对于这个对合变换确定的任意三组点对共六个点，必然有一条圆锥曲线同时经过这六个点。
这个结论证实了共格尔刚点的俩三角形中hujunhua的$\Delta ABC$和$\Delta A'B'C'$对合的结论。
同样，这个结论给出了Poncelet六边形一种非常简单的构造方案。给定任意圆锥曲线C和其内部一个点K,过K做三条直线分别交C于三组相对的点I,J;G,H;L,M.
分别过I,J,G,H,L,M做切线，于是相邻切线的两两交点得到的6个点共圆锥曲线，于是这六条切线围成的六边形和内外圆锥曲线构成Poncelet六边形。

mathe

刚刚发现，Pocelet六边形中，所有六边形对边的交点落在同一条直线上
。
根据线性代数，我们可以同时将两个矩阵通过合同变换进行对角化，也就是我们可以同时将两条圆锥曲线通过射影变换把它们变换为中线在原点，对称轴为坐标轴的标准圆锥曲线。
在经过这个变换以后，Pocelet六边形中所有六边形也应该是关于原点对称的，也就是对边都相较于无穷远点，所以解释了这个结论