求(2x+1)*(4x+1)*(6x+1)*...*((n-2)x+1)*(nx+1)的值

qianyb

求(2x+1)*(4x+1)*(6x+1)*...*((n-2)x+1)*(nx+1)的值，(n为偶数)

本因坊算帐

很像阶乘啊，应该没有简单的公式吧

qianyb

那如果n=10-100时，有没有快速的计算方式呢

gxqcn

令 $y=2x, n=2k$，则原式=$(1+y)(1+2y)...(1+ky)$，
上述仅仅简单代换，实质上并没有简化运算，只是形式上简化一些而已。

wayne

楼主的意思是说

类似于sin(x)+sin(2*x)+...+sin(n*x)=sin(n*x/2)*sin((n+1)*x/2)/sin(x/2)  的
求出(2x+1)*(4x+1)*(6x+1)*...*((n-2)x+1)*(nx+1)简洁的表达式吗？

答曰： 没有

qianyb

楼主的意思是说

类似于sin(x)+sin(2*x)+...+sin(n*x)=sin(n*x/2)*sin((n+1)*x/2)/sin(x/2)  的
求出(2x+1)*(4x+1)*(6x+1)*...*((n-2)x+1)*(nx+1)简洁的表达式吗？

答曰： 没有
wayne 发表于 2010-3-2 14:44

明白了，但表示成$ax^n+bx^(n-1)...+cx+d$格式时常数项a,b,c,d有什么规律没有

mathe

可以使用$Gamma$函数来表示
我们知道$Gamma(x+1)=xGamma(x)$
而
$(2x+1)(4x+1)...(2mx+1)=(2x)^m(1+1/{2x})(2+1/{2x})...(m+1/{2x})$
于是结果可以写成$(2x)^m{Gamma(m+1+1/{2x})}/{Gamma(1+1/{2x})}$

wayne

呵呵，按mathe的方法倒也不错~~

qianyb

这个$Gamma$函数怎么是求呢，有这个函数的源程序吗

mathe

通常利用Stirling级数计算的