最佳的下注策略

mathe

记p=0.6,q=0.4,先假设存在简单最优模式，第一轮选择r,如果赢，第二轮选s,如果输第二轮选t.那么现在有另外一个人与之PK,假设第一轮同样用了r并且输掉，那么她第二轮必然选择t是最优方案。我们现在查看稍微增加t的方案,可以看出大部分情况结果不变，除了有$q^3$概率由平均变成输掉还有至少$pq^2$概率由平均变成赢，所以平均结果更好。这说明最优情况t只能取最大值1-r。现在我们再看第一轮她还是选r赢的情况，如果$1+r-s != 1-r+t=2-2r$,那么如果稍微增加s,唯一的变化将是$p^3$平局概率变成赢,$pq^2$平局概率变输，所以是更好的局面。最优情况只能$s=1+r$同样是全部投入。但是对于情况$1+r-s=2-2r$,有$p^3$情况平局变赢，$2pq^2$情况平局变输，所以同样必须$s=1+r$.可以看出第二轮方案完全不同于前面每轮20%的方案
现在已经假设有最优方案$r,s=1+r,t=1-r$,如果对手将r增加一个很小的数d,s减少$d/2$,于是她可以有不小于$p$的概率赢，这说明不存在简单最优策略