鬼谷子难题

wayne

这道题很耐人琢磨，希望不知道的不要轻易上网搜索。。。

孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟；一天鬼从2到99中选出两个不同的整数，把和告诉庞,把积告诉孙。
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

请各位看官根据他们的对话给出这两个神秘的数来

qianyb

这道题的答案按楼主的意思是没有了，因为知道的人不能说答案啊

wayne

我改过来了

sheng_jianguo

答案是3和14。
如果把2到99该为3到128你能正确解答，则能体验这个问题实质性东西
大家不妨试试，是否能正确找到3到128的解答

hujunhua

是4和13 吧

hujunhua

孙膑, 庞涓都是鬼谷子的徒弟；一天鬼从2到128中选出两个不同的整数, 把和告诉庞, 把积告诉孙。
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么, 但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道, 但是听你这么一说, 我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说, 我现在也知道这两个数字是什么了。

胡子说：
假定这两个数是a和b, 且2≤a＜b≤128, 记s=a+b, p=ab
记S(n)={xy|x+y=n, 2≤x＜y≤128}，即由两数之和推断两数之积的范围
  P(n)={x+y|xy=n, 2≤x＜y≤128}，即由两数之积推断两数之和的范围
庞、孙若能再知道对方的数，就能从一元二次方程x²-sx+p还原(a,b)。
1、一开始庞不能确定p, 孙不能确定s, 皆因|S(s)|≥2，|P(p)|≥2.
2、庞能肯定孙不知s, 说明对任意xy∈S(s),均有|P(xy)|≥2。所以我们和孙可得
   〖推论1〗s＜69。因为[64, 128]内有素数{67, 71, …, 113, 127}，若69≤s≤253, S(s)中必存在x或y在这段素数中的解，而此时P(xy)=1.
   〖推论2〗(a, b)不是素数对。进而知 s 必非偶数(小偶数哥德巴赫定理)和(2+prime)。现在可推断的 s 取值范围只剩下
Rest={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67}。
3、孙得知Rest后即可确定s, 当且仅当|P(p)∩Rest|=1.
4、庞能从孙的反馈得知 p，说明S(s)中仅有1个p满足P(p)∩Rest={s}.
   〖引理1〗 若s∈Rest且s=2^k+prime, k>1, 则P(2^kprime)∩Rest={s}.
   证：因P(2^kprime)中除了2^k+prime=s这一项，其它皆是偶数，故P(2^kprime)∩Rest={s}.
   〖引理2〗 若s∈Rest且s=32+odd, 则P(32*odd)∩Rest={s}.
   证：因P(32*odd)中除32+odd=s这项, 其它奇数项＞3*32=96, 故P(32*odd)∩Rest={s}.
   〖推论1〗Rest中能同时表示为2^k+prime(k＞1, k≠5)和32+odd的数都可以淘汰。35以上的奇数都可依此条删去。还剩{11, 17, 23, 27, 29}.
   〖推论2〗Rest中能以两种方式表为2^k+prime(k＞1)的数都可以淘汰。包括
                  11=4+7=8+3，   23=4+19=16+7，   27=4+23= 8+19
还剩下{17，29}，逐个检验。
5、S(17)={2*15, 3*14, 4*13, 5*12, 6*11, 7*10, 8*9}
     P(2*15)={2+15,3+10,5+6}, P(30)∩Rest={17，11}
     P(3*14)={3+14, 2+21, 6+7}, P(42)∩Rest={17,23}
     P(4*13)={4+13, 2+26}, P(52)∩Rest={17}（亦可由引理1直接得到此结果）
     P(5*12)={5+12, 2+30, 3+20, 4+15, 6+10}, ∩={17,23}
     P(6*11)={6+11, 3+22, 2+33}, ∩={17,35}
     P(7*10)={7+10, 2+35, 5+14}, ∩={17,37}
     P(8*9)={8+9, 3+24, rest evens}, ∩={17,27}
    可见S(17)中只有52满足P(p)∩Rest={17}，故庞最后可知p=52, a=4, b=13为一解。
6、S(29)={2*27，3*26，4*25，…，14*15}
     P(2*27)={2+27, 6+9, 18+3}, P(54)∩Rest={29}
     P(16*13)∩Rest={29}(由引理1得)
    可见29也可以删去。以此为例解释一下第4条。假如孙得知的p=54, 他由P(54)∩Rest={29}即可确定s=29。庞知道的s=29, 但他发现从S(29)中选p=54或者208，都能确定s=29，所以庞就不知道孙是从其中哪个数得到s=29的，因此仍然无法确定p.
    最后结论：庞涓知道的和是17，孙膑知道的积是52，两数为4和13

winxos

1# wayne
知识共享，
不确定其实也是会添加一条判断依据，然后确定了又添加了一条判断依据。

hujunhua

2、庞能肯定孙不知s, 说明对任意xy∈S(s),均有|P(xy)|≥2。所以我们和孙可得
   〖推论1〗s＜69。因为[64, 128]内有素数{67, 71, …, 113, 127}，若69≤s≤253, S(s)中必存在x或y在这段素数中的解，而此时P(xy)=1.
   〖推论2〗(a, b)不是素数对。进而知 s 必非偶数(小偶数哥德巴赫定理)和(2+prime)。hujunhua 发表于 2010-3-6 00:05

貌似没人认真审查我的解答，因为有小错误没人纠正。就是其中定义的Rest，下文中过滤得不够干净。
Rest={s|&#8704;x+y=s, 2≤x<y≤128→|P(xy)|>1}
检查发现51和57不在Rest中。因为
51=17+34，P(17*34)=1
59=19+38,  P(19*38)=1
也就是说，还该有个推论(3): s≠3prime, 这个prime>sqrt(128)>11.

应该滤干净了吧，好在这个错误不改变结论, 因为S(17)中的任意xy, P(xy)均不含51和57。

关于推论1，关键在于127是素数，这点应该指出，因为127以下的素数不需要。当68<s<128+64时，s=67+(s-67), 有2<s-67<128；当128<s<2*128-2时，s=127+(s-127), 2<s-127<128.

可见，128这个数是为了漂亮的证明而精心挑选的。譬若换作126，就不妙了，因为126之前的最大素数是113, 距126较远，这使得要证明推论1时，对于113+127~2*126-2之间的s，需另途证明, 因s-113>126, 超出了选数范围。

sheng_jianguo

楼上得出的结果正确（我在4#误写成3和14），虽然65也不在Rest中。
如果能将2到128改为3到128后推出正确结果（不是4和13 ）就更能清楚解决此类问题方法

hujunhua

65应还在Rest里吧。
选数范围从[2，128]变成[3，128]，看似变动微小，实则巨大，Rest完全不同了，答案可能是13，16。 没仔细算，有空再说吧，要出差了。