鬼谷子难题

qianyb

dddddd

sheng_jianguo

65应还在Rest里吧。
选数范围从[2，128]变成[3，128]，看似变动微小，实则巨大，Rest完全不同了，答案可能是13，16。 没仔细算，有空再说吧，要出差了。
hujunhua 发表于 2010-3-8 21:16

65=13+52，|P(13*52)|=1，所以不在Rest中。

选数范围从[2，128]变成[3，128]，答案是13，16，但要推导过程。

knate

穷举了一下,似乎只有17这个数了.

wayne

学习了。。。

sheng_jianguo

以下是分析选数范围为[3，128]的推导过程：
设所求的2数为X，Y（不妨设X<Y），其和为IH，其积为IJ。
1）因为庞说我不知道这2个数，但是孙也肯定不知道。
故用排除法可以得出IH只能是以下13个数中的一个：
13,19,25,29,31,37,43,49,53,55,59,61,67
比如IH不会是17，
因为如果IH=17，则当IJ=52时，由于52在3到128之间只有一种乘法分解，孙就知道X=4，Y=13，矛盾。
2）因为孙说我开始确实不知道，但是现在知道了。
故用排除法可以得出IJ只能是以下情况中的一个：
当IH=13时，
IJ只能是30,36,40,42
当IH=19时，
IJ只能是48,60,70,88,90
当IH=25时，
IJ只能是66,14,126,136,144
当IH=29时，
IJ只能是208
当IH=31时，
IJ只能是108,130,184,234,238
当IH=37时，
IJ只能是102,132,160,186,232,286,300,312,340,342
当IH=43时，
IJ只能是222,306,352,372,406,432,442,456,460
当IH=49时，
IJ只能是258,328,418,444,544,558,580,594
当IH=53时，
IJ只能是196,282,396,430,492,520,592,612,672,682,696
当IH=55时，
IJ只能是250,376,414,484,516,574,666,684,726,736,744,750,754,756
当IH=59时，
IJ只能是318,364,408,564,688,738,760,814,828,864,868,870
当IH=61时，
IJ只能是174,378,424,550,658,720,748,774,820,874,888,900,910,918,924,928,930
当IH=67时，
IJ只能是192,310,366,472,522,616,742,816,882,912,940,966,990,1012,1032,1050,
1066,1080,1092,1102,1110,1116,1120,1122
3）因为庞说这样我也知道了。
故由2）庞能确定的只有当IH=29时发生（其它情况时有多种可能）
综合上述，IH只能是29，IJ只能是208
所以，X=13，Y=16。

hujunhua

理没讲明说透

我在这个问题中曾考虑奇数表示为(2幂+素数)*的可能性，发现只有极少数不行。出差在外，不便验算，暂时脑算到300以内只有127，149，193，251，253不行。

*这里2幂是指2^k, k>1.

sheng_jianguo

理没讲明说透

hujunhua 发表于 2010-3-11 00:39

我的解法思路和您一样，只是你想理论上说明哪些数不行，而我是用编程方法逐一验证哪些数不行。

mathematica

我也没太明白这个题，不知道谁能说再透彻一些

mathematica

http://blog.sina.com.cn/s/blog_5d06b6110100azti.html
一日，鬼谷子在2--100这99个数字中选了2个数字，然后把它们的和告诉了庞涓，把积告诉了孙膑。当然，庞涓不知道积是多少，孙膑不知道和是多少。第二日，庞涓遇见孙膑很傲慢的对孙膑说：""虽然我不知道这两个数是多少但是我肯定你也不知道。""孙膑立刻还击道：""本来我不知道的，但是现在我知道这两个数是多少了。""庞涓想了一会，说道：""现在我也知道这两个数是多少了。""

　　请问这二个数各是多少?

　　1、庞涓能确定孙膑肯定不知道这两个数，可以有这样几个推论。

　　A）庞涓手上的数字是5-197之间的数字。
　　B）庞涓的和数一定不能拆成两个质数之和，否则就不会有确信。这可以分解为两点：庞涓手上不是偶数，只可能是奇数，因为任意偶数能被拆成两个质数之和，这是由歌德巴赫猜想来保证；庞涓手上的奇数不是2+质数。举例：如果庞涓手上是28，根据歌德巴赫猜想可以拆成11+17，当孙膑拿到了181这个积，马上就可以猜出鬼谷子给他的两个数是11和17，与庞涓肯定孙膑不知道这两个数相矛盾，因此将所有偶数排除。举例：当庞涓手上的数为质数+2时，例如 21，而正好是19+2，那样孙膑手上的数是38，只有一种分解方法2*19，因此孙膑同样一开始就能确定这两个数字。
　　C)庞涓的和数一定不是大于53的奇数。因为大于53的奇数始终能够拆成偶数和53（是质数）的乘积，这个乘积只能唯一的推断出53和该偶数的乘积，否则就要大于99了。另外97是质数，同理应该排除97+2到97+98的所有奇数。最后剩下的是99+98的奇数，因为都是最大的数，孙膑本来就可以推理出来，与孙膑本来不知道的前提相矛盾，自然排除了。因此由此可以排除超过53以上的所有奇数。举例：如果庞涓手上的数字是59，那有一种可能是 53+6，当孙膑拿到318时也只有一种分解方式是53*6，因为106*3和159*2中的106和159都大于了99这个最大的数字，因此这与孙膑事先不能肯定相矛盾。同理可以推理到195=97+98这中间的所有奇数都被排除，因为97是质数。
　　因此，当庞涓手上是53以上的奇数不会有这种把握孙膑肯定不知道这两个数。
　　D）这样的数字有10个：11，17，23，27，29，35，37，47，51，53。
　　
　　2、孙膑知道自己手中的积，并说本来不知道，但现在知道了。意味着，孙膑看了自己手上的积后分解因式对应的所有组合的和，只可能是上述10个数中的一个。也就是10个和数拆开的乘积不于其他和数拆开乘积重合的才可能是孙膑的积。这种积有许多种，关键是庞涓的第三句话。
　　
　　3、庞涓是知道自己手中的和数，当孙膑说了这句话的时候，庞涓说也知道这两个数字了，那庞涓手上的和数有一个特点，就是除一个例外的可能积，其他所有可能的积都包含在其他9个和数的可能积中间，否则庞涓没有这种自信。也就是在10个和数中找出积的数组合中只有唯一一对数不出现在其他数字的积组合中，而所有其他任一数字的积组合必然有多对超出另外9个和数的积组合。
　　
　　注意2、和3、小点中只有孙膑和庞涓知道自己手中的数字的时候才敢讲这话，说明是有针对性的唯一的。仔细体会这点。
　　
　　本人排出来是4和13。和数17，积为52。
　　17可以拆成（2+15），（4+13），（6+11），（8+9），（10+7），（12+5），（14+3）。
　　2*15=6*5，被和为11的包括了；6*11=33*2，被和为35的包括了；8*9=24*3，和为27；10*7=35*2，和为37；12*5=20*3，和为23；14*3=21*2，和为23。惟独4*13是不能被另外所有9个数组合出来的积所覆盖。

mathematica

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4911170d010005ox.html

鬼谷子难题的完全解！

   一日，鬼谷子在2--100这99个数字中选了2个数字，然后把它们的和告诉了庞涓，把积告诉了孙膑。当然，庞涓不知道积是多少，孙膑不知道和是多少。第二日，庞涓遇见孙膑很傲慢的对孙膑说："虽然我不知道这两个数是多少但是我肯定你也不知道。"孙膑立刻还击道："本来我不知道的，但是现在我知道这两个数是多少了。"庞涓想了一会，说道："现在我也知道这两个数是多少了。" 　　
　　请问这二个数各是多少?

设所求两个数为X和Y，两数之和为C，两数之积为D。即孙膑拿到的数为C，庞涓拿到的数为D。。。

现在对庞涓和孙膑两个人的对话逐句进行分析：

1、庞涓对孙膑说：虽然我不知道这两个数是多少
此句说明了庞涓拿到的和数C必定大于5，即和数起码可拆分成两个不同的自然数对。（此句的分析对于此题的解意义不大）

2、庞涓接着对孙膑说：但是我肯定你也不知道
此句说明：C不能被拆分成两个质数的和。这也说明了D至少有3个以上的质数因子。
编程可得以下的数（200以内）不能被拆分为两个100以内的质数之和，即C的可能值为：
11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53 57 59 65 67 71 77 79 83 87 89 93 95 97 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143 145 147 149 151 153 155 157 159 161 163 165 167 169 171 173 174 175 177 179 181 182 183 184 185 187 188 189 190 191 192 193 195 196 197 198 199

我们假设积数D只有3个质数因子，那么：C＝1个合数（假设为X）＋1个质数（假设为Y）。

由于X和Y均是100以内的数，那么Y必定是小于50的质数，否则积D只有一组解（X*Y）。而且，两数之和C必定小于55（因为任何大于等于55的数均可以拆成53加上一个2或2以上的数，当两数的乘积D有一个53的因子时，要保证X和Y均小于100，那么此时两数的乘积D只有一种解法，即 X=53，Y=C-53）。那么C的可能值应为：
11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53

由上面C的范围可知，C是一个奇数。要使C为奇数，要么X为偶数，要么Y＝2。如果X为偶数，那么2必定是X的质数因子，也即是D的3个质数因子中，有一个是2。
那么C的结果可分为4种可能：

①2的平方＋质数1（小于50）
②质数1的平方＋2（不难看出，质数1小于10，否则X的值将大于100）
③2×质数1（除2之外的质数，且小于50）＋质数2（可能等于质数1，且小于50）
④质数1×质数2（不等于质数1）＋2

①2的平方＋质数1（小于50），则C值在上面范围内的值有：
11 17 23 27 35 41 47 51

②质数1×质数1（小于10）＋2，则C值在上面范围内的值有：
11 27 51

③质数1×质数2＋2，则C值在上面范围内的值有：
17 23 35 41 53
排除后，解为空

④2×质数1（除2之外的质数，且小于50）＋质数2（小于50），则C值在上面范围内的值有：
17 29 37 41 11 27 51 17 29 41 53 17 37 23 27 35 47 51 23 27 51 29 41 53 29 37 35 51 37 41 53 47 51 47 51 53 53
排除后，解为空：

3、孙膑对庞涓说：本来我不知道的
此句说明了庞涓猜得没错，孙膑的积数D必定是一个合数和一个质数相乘的结果，且合数至少有两个或两个以上的质数因子。

4、孙膑对庞涓说：但是现在我知道这两个数是多少了
此句也是关键的一句，说明了孙膑能够将积数所能拆分的数对进行分析，找到唯一一组正确的数对。排除的根据就是：每一组数对之和如果不在2中分析所列出来的范围内，即可将该数对排除。

说明：庞涓所拿到的两数之积D能够拆分成两个数相乘，且这两个数的和C在1中所求的可能值范围内，关键是这样的两个数只有一组，这样，B才能排除其他可能的解，而找到正确的答案。

仍然根据上面的4点分析结果往下分析：

①2的平方＋质数1（小于50），则C值在上面范围内的值有：
11 17 23 27 35 41 47 51
排除2×质数1＋2的和在1中C值范围内的数，因为这个表达式所求出来的和为偶数，偶数都可以拆分成两个质数的和，因此C值的范围仍为：
11 17 23 27 35 41 47 51

②质数1×质数1（小于10）＋2，则C值在上面范围内的值有：
11 27 51
排除2×质数1＋质数1的和在1中C值范围内的数，这个表达式所求出来的和都可以拆分成两个质数的和，因此C值的范围仍为：
11 27 51

③质数1×质数2＋2，则C值在上面范围内的值有：
17 23 35 41 53
排除2×质数1＋质数2的和以及2×质数2＋质数1的和至少有一个出现在1中C值范围内的数，经过计算，C值为空

④2×质数1（除2之外的质数，且小于50）＋质数2（小于50），则C值在上面范围内的值有：
17 29 37 41 11 27 51 17 29 41 53 17 37 23 27 35 47 51 23 27 51 29 41 53 29 37 35 51 37 41 53 47 51 47 51 53 53
排除2×质数2＋质数1的和以及质数1×质数2＋2的和（在此和数小于102的情况下）至少有一个出现在1中C值范围内的数。经过排除后，C值的范围为：
51 41 47 51 41 53 57 51 53 51 47 53

5、孙膑听到庞涓说他知道了，然后就说：“现在我也知道这两个数是多少了”。

说明：在和数C不变的情况下，只有一个对应的积D能够根据前面的条件求出最终的解。

即排除2中所求出的①②③④中所有重复的数，那么和数C的解可能为：

17 23 35

D不可能存在4个或4个以上的质数因子。。。这一点就不证明了。。

综上所述，C的解为：17 23 35
X、Y共有3组解，分别为：
4、13 4、19  4、31

上面所有的计算结果均是通过编程进行计算的，应该不会有解被遗漏掉。有什么疑问或见解，请给我留言。