求孪生小素因子数

liangbch

定义：
1.  $P_n$ 表示第$n$个素数，如$P_1=2$,$P_2=3$,$P_3=5$.

2.  $SP_n$表示前$n$个素数的集合，如$SP_2$表示集合{2,3},$SP_10$表示集合{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}.

3. SPFN表示小素因子数，如果一个数x(x>1)的所有素因子都属于$SP_n$,则这个数可以称作n阶SPFN, 如80是一个3阶SPFN，它包含3个素因子2，3，5。 容易知道对于n<m,如果一个数是n阶SPFN，那么他也是m阶SPFN.

4.TSPFN表示孪生小素因子数，如果x是一个n阶小素因子数，x+1也是一个n阶小素因子数，那么我们称数对(x,x+1)是一对TSPFN（孪生小素因子数），如 (80，81)是一对3阶TSPFN,因为这两个数的因子都属于集合{2,3,5}

问题1：
证明:最大n阶TSPFN的存在性，即对于一个给定的n值，存在有限对n阶TSPFN,可以从中找到最大的那对。

问题2：
计算或者估计n阶TSPFN的个数，是否有一个直接的方法求出最大的n阶TSPFN。

说明：
  使用我自己编写的的程序，经过大约2天时间的计算，可以求出2^64,以内的所有32阶TSPFN,并基本可以确定最大的2-32阶TSPFN,下面列出所有的4阶TSPFN(孪生小素因子数)
(1.2)
(2,3)
(3,4)
(4,5)
(5,6)
(6,7)
(7,8)
(8,9)
(9,10)
(14,15)
(15,16)
(20,21)
(24,25)
(27,28)
(35,36)
(48,49)
(49,50)
(63,64)
(80,81)
(125,126)
(224,225)
(2400,2401)
(4374,4375)

以上的定义都是我自己定义的，如果有更好的名称，欢迎提出来。

hujunhua

正整数n的所有不同素因子之积称为它的根，记为Rad(n)。你的猜想从属于以下命题：
丢番图方程1+x=y，rad(xy)<C(常数）具有有限多个正整数解。

这个可能从属于著名的ABC猜想，建议你搜索一下。

liangbch

谢谢

liangbch

看了一下abc猜想。的确如果abc猜想成立，则问题1可证明，不过问题1的约束条件更多，应该比abc猜想容易证明。下面给出abc猜想的描述。
   对于所有e>0,存在与e有关的常数C(e)，对于所有满足a+b=c,a与b互质的三正整数组(a,b,c),均成立 c<=C(e)((rad(abc))^(1+e))。
   目前支持 ABC 猜想的证据有很多，比如说 ABC 猜想的多项式版本成立，ABC 猜想也蕴含了费马大定理。D. Goldfeld 评价 ABC 猜想为“丢番图分析（意即系数与解均为整数的方程的分析）领域中最重要的未解决问题”。

hujunhua

今天看完我的回帖，有点报歉的感觉，心想楼主可能就是从研究ABC猜想弱化而来的猜想，又被我一棒打回原形了，多对不住啊。

定义Pmax(n)为整数n的最大素因子，你的猜想可以写成以下解析数论的方式：
Pmax(x²+x)>=f(x)+O(g(x))

x--->∞时，f(x)--->∞.   f(x)与g(x)是需要研究的估计函数。建议计算一下Pmax(x²+x)的分布。

liangbch

楼上太客气了。事实上，我数学很差，我是头一次听说abc猜想。问题的提出是基于我自己的一个关于多重精度对数计算的，这个题目进展的还算顺利。不过我希望从数学的角度，看看能不能得到更好的结论和证明。

hujunhua

初步估算了一下，Pmax(x²+x)或许可以达到loglog(x)的阶。

liangbch

n	x	Pmax(x)	log(x(x+1))	log(x(x+1))/Pmax(x)
2	8	3	4.276666119	1.425555373
3	80	5	8.776475789	1.755295158
4	4374	7	16.767095	2.395299286
5	9800	11	18.38037736	1.670943397
6	123200	13	23.44313678	1.803318214
7	336140	17	25.45056901	1.497092295
8	11859210	19	32.57723076	1.714591093
9
10	177182720	29	37.98538415	1.309840833
11	1611308699	31	42.40062509	1.3677621
12	3463199999	37	43.93091771	1.1873221
13	63927525375	41	49.76203173	1.213708091
14	421138799639	43	53.53245661	1.244940851
15	1109496723125	47	55.46985525	1.180209686
16	1453579866024	53	56.01010101	1.056794359
17	20628591204480	59	61.3153983	1.039244039
18	31887350832896	61	62.18646104	1.019450181
19
20	119089041053696	71	64.82178515	0.912982889
21	2286831727304140	73	70.73188746	0.968929965
22	9591468737351909375	79	87.41481141	1.1065166

liangbch

楼上的表格说明了这样一个规律。
若p是一个素数，x,x+1的最大素因子都是p,则对于指定的p，满足条件的最大的x可这样估计:
$\lim_{p->\infty}f(p)=\sqrt{e^p}$

hujunhua

这么说来，对于充分大的x,  Pmax(x²+x)~C log(x)+O(g(x)), C≈2.  
这个阶够高的了。

表中的数据怎么缺了p=23和p=67的？