剩下的最后一道逻辑智力题

hujunhua

智力题36(帽子的颜色3)—— 世界500强面试题，暂无答案 帽子的颜色(三) 有3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子。让10个人从矮到高站成一队，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。(所以最后一个人可以看见前面9个人头上帽子的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见)。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？ 本文转自：数学研发论坛(bbs.emath.ac.cn)

hujunhua

50道题，就剩这一道了，单独提出来大家关注一哈。我先抛个砖头。 按照高矮顺序将人编为H1，H2，...，H10，回答不知道者，简记为Hi=N, 回答知道的需要大声报出颜色，记为Hi=R(Red), W(White)或者B(Black)，笼统地记为Hi=Y. 问题能成立就是因为有多余的帽子，否则，10人10帽又知颜色总体分布的话，H10就能据看到的9顶帽子知道自己的帽子颜色，然后其它的人依次可知。这种情况称为简化。 如果H10=Y，那么多余帽子的颜色都与H10一样，这多余的帽子就暴露了，H9至H1就简化了。这种平凡解我们且不管它，以下只论H10=N。 H10=N，那么H10及多余的帽子不可能都是红色，所以H10看到H1~H9至少有1红帽。若H9看到{H8~H1}无Red, 必答H9=R, 所以若H9=N, 则{H1~H8}含Red. 依此类推，H9~H2不可能都=N，否则导致H1=R，与题设H1=B相矛盾。可见，H9~H2必有一个Hx先于H1答知道。把H9~H2的回答按序排列起来就成为一个包含R，B，W和N的字符串，这个题目的最后问题就是：怎样的字符串使H1=B?

hujunhua

继续抛砖头。 H10=N，H10及多余的帽子可能为（不计顺序，下同）RBW，RRB，RRW，RBB，RWW，BBW，BWW，相应的{H9~H1}=RRBBBWWWW，RBBBWWWWW，RBBBBWWWW，RRBBWWWWW，RRBBBBWWW，RRRBBWWWW，RRRBBBWWW。共7种 若Hx=H9, 那么 当H9=R, 必是看到BBBWWWWW和BBBBWWWW之一。 ------若H8=W，必是看到了全部的4个B，即BBBBWWW，至H7以下简化 ------若H8=B，必是看到了全部的5个W，即BBWWWWW，至H7以下简化 ------若H8=N，必是W和B都未看全，必是看到BBBWWWW，至H7以下简化 ▲▲注意，这里有一个三分律。H9=R时看到的两种可能情况只差一个颜色，必可分为三种情况至简化。这就是三分律，下面要经常用到以省略过程。 当H9=B，必是看到RRRBWWWW或RRBWWWWW ------H8=B不予考虑，与H1=B相矛盾。H8≠B时按三分律处理，至H7以下简化。 当H9=W，必是看到RRRBBBWW或RRBBBBWW ------当H8=R、B、N时，按三分律至H7以下简化。 ------若H8=W，必是看到了RRRBBBW与RRBBBBW之一， ---------当H7=R，B，N时按三分律至H6以下简化。 ---------当H7=W, 看到的是RRRBBB或RRBBBB，当H6=R，B，N时按三分律至H5以下简化。

qianyb

这个问题已经解答了，主要是第一个人不一定是戴黑帽子的，也可以是红白帽子。如果第一个人一定戴黑帽子，则第二第三人必须是红白帽子的一个

zgg___

这个题目没大看懂呢。 “现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？” 1、如果他回答知道，那么会发生什么事情呢？ 2、什么叫“假定一定知道自己戴的是黑帽子”呢？这句话不完整呢。是不是说：“假定最前面那个人戴的是黑帽子，那么等一个一个轮到他的时候，他一定能猜出他戴的是黑帽子呢？”

qianyb

1.如果回答知道，游戏就结束了 2.你的理解是对的

zgg___

如果真的是象6楼这样理解题意的话，那么问题或许就比较简单了。 由于第10个人（最后一个人）猜不出，所以前9个人里一定有红帽子；第9个人猜不出，所以前8人里有红帽子。这样下去，如果能轮到第一个人猜，而游戏不结束，那么第一个人一定是戴的红帽子。这样如果假定第一人戴的是黑帽子，那么前9个人中一定有人能猜出自己帽子的颜色，所以总也轮不到第一个人来猜。 题目真的是这个意思么？呵呵。不会这样吧。

wayne

很纠结，呵呵 我目前的状态不适合做这种题。。。

qianyb

所以这道被打住了，呵呵

hujunhua

我搞了一个图解法，对这个问题的描述比较简明而彻底。下图1是H9回答前后的帽子颜色分布。

H9的回答

图1 我来解释一下这个图。图中内圈的每个正6边形及中间的那个正6边形的三位数表示由H10（最高、站在最后、最先回答的人，按2楼的记号排为H10）的回答反推出来H10看到的帽子颜色分布（以下简称分布）。个位为白色（用天蓝色代替）帽子数，十位为黑色帽子数，百位为红色帽子数。箭头指明分布的递减变化关系，箭头颜色表示H9的回答，绿色箭头代表“不知道”。外圈的小六边形中的数表示H9看到的分布。 箭头线的连结对象是：内圈的某个分布与外圈的某个分布有两位数相同，就连一个箭头线。 箭头的涂色原则是：如果进入外圈某个分布的箭头是唯一的，那么该箭头就是红黑白三色之一，如果不是唯一的，就是绿色。 从图中可见，H9回答知道时，不论是报红、黑还是白，都指向2种分布，共是6种。H9回答不知道也指向6种分布。为了不使图过于复杂，以下我们将图按知道和不知道两条支路分开画。