条件收敛的级数的重排问题

BC_souhait

加法具有交换性，但为什么条件收敛的级数重排之后的结果会改变？

例如书本上的例子： 设$A=sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}1/n=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+...$ 则$A/2=1/2-1/4+1/6-1/8+...$ 将上述两个级数相加得 $3/2A=1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+...$ 这就是说经过重排之后，此调和级数的和变了... 我很不理解这个重排产生的变化，不是说加法具有交换性吗？希望大家说说对条件收敛重排的理解，谢谢大家。

KeyTo9_Fans

考虑加法那一列： $1+1/3+1/5+1/7+...$ 其和发散到正无穷； 考虑减法那一列： $-1/2-1/4-1/6-1/8-...$ 其和发散到负无穷。 所以相当于求正无穷加负无穷等于多少。 所以我们只要调整加减的顺序，就可以得到任何我们想要的答案。

BC_souhait

2# KeyTo9_Fans 嗯，但是我不理解为什么调整加减的顺序能影响结果。如果从加法交换性的角度来看，不是应该不变的吗？

KeyTo9_Fans

因为正无穷加负无穷没有意义，得不到一个确定的值。 就好比我在一个池子里加水；你在放水。 我能加的水量为正无穷；你能放的水量也是正无穷。 只要我们互相配合得当，想让水池里的水保持在哪个数量都可以。 而绝对收敛则不同。 我能加的水量有限；你能放的水量也是有限的。 这时才满足加法交换律。 无论我们以何种顺序加水放水，最终加出来的水量总是相同的。

BC_souhait

4# KeyTo9_Fans 豁然开朗！谢谢你的比喻！也就是说，加法交换律在条件收敛的时候不成立吧。嗯，我应该去找找加法交换律的适用范围方面的资料。谢谢KeyTo9_Fans的帮助。

hujunhua

$1+1/3+1/5+1/7+...$并不是严格的数学写法, $sum_{n=1}^{infty}a_n$也还不是，当你还原为严格的数学写法时，就知道为什么了。 还原到$lim_{n->infty}sum_{k=1}^{n}a_k$就够了。无穷级数是有穷级数的极限，对无穷级数的项调序时，相当于重新定义有限级数（通项变了），对于条件收敛的无穷级数，结果当然会不同。 A=$lim_{n->infty}sum_{k=1}^{n}1/k$ B=$lim_{n->infty}sum_{k=1}^{2n}1/k$ C=$lim_{n->infty}sum_{k=1}^{4n}1/k$ 按说A，B，C是相同的，不比较，独立地说，确实相同。所谓独立，就是说定义A，B，C的n各不相干。但是拿在一块比较，也就是n都一样的话，就有微小差别，B-A=ln2, 同样C-B=ln2. 这里B可以看作是对A调序的结果，不就是把后面的n项搬到前面来了么？写成无穷的形式，总可得后面的项，写成有穷形式的极限就不会去后面搬数，因为没有后面，要搬就得增项。 你的例子也是一样的，当你调序时，就是从后面去搬东东，实际上增项了。

BC_souhait

6# hujunhua 我在网上查阅过关于无穷级数的加法交换律的问题，大多只是说无穷级数的加法交换律不成立，但是却没有说明为什么。但是hujunhua的解释——无穷级数是有穷级数的极限，这让我对无穷级数的加法交换律不成立的原因有些理解。 我对hujunhua中的“B可以看作是对A调序的结果，不就是把后面的n项搬到前面来了么”不是很理解。这里是否将A后面增加n项使之变成B看作是调序？

zgg___

呵呵，我想楼主的问题可以引出一些比较深刻的问题。我就此说说，不一定对呦。 1、首先（就事论事）：发散级数不能随意交换各项次序或添加零。 这里举一个比楼主的更简单的例子：设S0=1-1+1-1+1……，可知S0=1/2，而设S1=1-1+0+1-1+0+1-1+0……，可知S1=1/3。我想：“不能加0”比起“不能交换”是同样严重的问题。 2、其次（反问）：为什么发散级数是有意义的呢？ 我们知道1+2+3+4……是Zeta函数取-1的值，所以它等于-1/12。这不是胡说么？正的加加加就变负了，哼，骗人的。楼主的例子不也正好说明条件收敛是不存在的呢。打倒，打倒，呵呵。。。 的确，它们就是不存在，就好像0的倒数一样。 但是，本着空着也是空着，闲着也是浪费的观点，我们可以定义它们。（而且还是批处理的方式来定义） 什么是有意义呢？所谓有意义是指它能对应于某个数，而且有一定的道理。 例如：Zeta函数在变量的模大于等于1的时候没有意义，可是我们可以用解析延拓的方法（个人认为是很有趣很牛的方法）来拓展。 上面的S0没有意义，可以我们认为它就是函数1/(1-x)当x=-1时的值，这样，就得1/2了；S1是函数1/(1-x+x^2)，这样它得1/3也是有根据的了。 从它们得到的途径来看，它们“不能随意交换各项次序或添加零”是不奇怪的，模样变了，凭什么要对应相同的数呢？ 3、最后（最后的最基本）：什么是数？（为什么上面提到的对应是有道理的？） 赫赫，什么是数呢？ 大家说是的就是？这个定义不好。 感觉像是的就是？这个还可以。我感觉1、2、3都没问题；10000，这个交待了进制的问题也过关呢；1/2，噢，这个带除号呢，也算吧，有理数么，有历史的；0.1或0.111……，恩可以变分数的（是对应分数的），好吧；根号2，总觉得根号没有除号那么好；x^3+x+1=0的根，嗯，还好，还能用根号表示；x^13+x+1=0的根，恩，连公式都没有了，只能用话来表示；周长比直径Pi，也是只能说的……但是我想大家在感觉上不会质疑它们。接下来呢？兔子数列，大家知道它和黄金分割数的对应，我一直觉得可以把整个数列看成是一个数；矩阵，如果让我从“{{1,1},{1,0}}”和“x^2-x-1=0的根”中挑一个作为数的话，我会选矩阵的；各种域的例子，如果不是数，那为什么在数学中研究呢？赫赫；香蕉和苹果还有梨，我们会定义它们么？ 或许一个对象是否可以作为数不是看它如何来的，而是看它如何去参与运算的。 我想发散级数的收敛值也是一种数的表示，而表示所对应的数恰好在复数域中，这使得它能更有意思；这种对应过程一般和某些复变函数密切相关，所以在对应过程中一些基础的运算反而道实效了。 呵呵，上面只是一些个人的想法，误人子弟概不负责，呵呵。

hujunhua

楼上真是信马由缰啊。 将$lim_{n->infty}sum_{k=1}^{n}a_k$简写为$sum_{k=1}^{infty}a_k$后，似乎流标k成了级数的变量，延伸到无穷级数时就是让这个k取极限。这真是一个莫大的误解。 事实上，有穷级数$s(n)=sum_{k=1}^{n}a_k$作为一种特殊的函数，其变量是n, 不关k的事。在s(n)有显式时这点看得很清楚。比如$s(n)=sum_{k=1}^{n}1/{k(k+1)}$有显式$n/(n+1)$，哪有流标k的影子？可见，所谓无穷级数是有穷级数的极限，其实取极限的是级数的长度n, 而不是流标k。 把无穷级数进行调序的做法，都是由于视流标k为级数的变量引起的。当视流标k为变量时，你就看不到级数整体，忘了它是一种特殊形式的函数，忘了它存在和式，忘了它的和式中是不含流标k的。你只看到表面上一连串的、流向无穷的加项。结果，一越界调序，和式s(n)都变了还浑然不知，惊呼怎么加法的交换律失效了。 注：越界调序，指超过有限级数的长度去调序，将$a_n$以后的项扯进级数$s(n)=sum_{k=1}^{n}a_k$中来。实际上，只要不越界，在$a_n$以内怎么调序级数都不会变的。

BC_souhait

看了楼上两位的见解，我甚是兴奋。zgg___从数的定义的观点来看待条件收敛级数。其实我一直都在思考数存在的本质。而我目前为止认为“数”只是因人类需要而被定义出来的，因此现在的“数”受到了很多的约束，而“数”也逐渐被扩充——但并不是人们发现了“数”的新的性质，而是“数”无法解决数学上的矛盾而被人类修补，无理数和超越数的出现都是很好的例子。我就不扯开来说了。 而hujunhua指出的流标k不是级数变量和越界调序对我这种初学者真是醍醐灌顶。 其实在想这个条件收敛级数调序问题的时候，我还想起一个关于“无穷”的有趣问题：就是无穷多个无穷小相乘是否一定是无穷小？ 我从一位老师那里得到下面的例子来说明无穷多个无穷小相乘不一定是无穷小： $1,1/2,1/3,1/4,1/5,...$ $1, 2 ,1/3,1/4,1/5,...$ $1, 1 , 3^2,1/4,1/5,...$ $1, 1 , 1 , 4^3 ,1/5,...$ $1, 1 , 1 , 1 , 5^4,...$ $...$ 从每一行来看，每一行的乘积都是无穷小，所以上面的数表相当于无穷个多个无穷小相乘；从每一列来看，每一列的乘积为1，也就是说这无穷多个无穷小的乘积为1。 对于这个问题，大家又有什么看法？