条件收敛的级数的重排问题

wiley · 发表于 2010-3-31 01:34:53

风云剑 · 发表于 2010-3-31 16:49:05

我觉得楼主那个无穷多个无穷小相乘的例子不严密。
第无穷行怎么解释？

hujunhua · 发表于 2010-3-31 17:26:09

还是那句话，无穷是有穷的极限。所以要“从有限看无限”。
把第k行的乘积记为A_k, 通项公式为$A_k={k^{k-1)k!}/{n!},1<=k<=n$
第n行的乘积$A_n={n^{n-1}n!}/{n!}=n^{n-1}$
$lim_{n->infty}A_n$是无穷小吗？不仅不是，相反还是阶很高的无穷大。

dalaopeng · 发表于 2010-3-31 22:10:35

有点难度等我考虑考虑

BC_souhait · 发表于 2010-3-31 22:16:11

13# hujunhua

在这点上，我是这样看的。我用A_k,m表示第k行前m项的乘积，我只考虑m>k的情况，那么有：

$A_{k,m}={k^{k-1}*k!}/{m!}$

那么对于任意第k行，$forall varepsilon > 0$，取$m>max{1/varepsilon ,2k}$，有：
$A_{k,m}={k^{k-1}*k!}/{m!}<1/m<varepsilon$

这不是说明对于每一行都是无穷小吗？

hujunhua · 发表于 2010-4-1 01:07:18

如果k<m, 也就是说行数小于每行的项数，二维乘积能保持为1吗？不能！
k取m-1, $A_{k,m}={{m-1}^{m-2}}/m$, 是无穷小还是无穷大？

BC_souhait · 发表于 2010-4-1 11:53:40

16# hujunhua

对于这个，我想我们得到的答案不同是因为在我们在固定k，m的时候选择不同。我是固定k，然后让m趋向于正无穷，所以得到的结果是每一行都是无穷小。而你是固定了m，然后在k<m的约束下让k=m-1。事实上，我们似乎是在讨论：

$lim_{k->infty}lim_{m->infty}{k^{k-1}*k!}/{m!}=?$

固定k，我们可以得到$lim_{k->infty}lim_{m->infty}{k^{k-1}*k!}/{m!}=0$
固定m，我们可以得到$lim_{k->infty}lim_{m->infty}{k^{k-1}*k!}/{m!}=infty$

对于这种有两个变量的数列，应该怎么处理？

hujunhua · 发表于 2010-4-2 16:54:51

m vs k, 关公战秦琼

BC_souhait · 发表于 2010-4-3 23:36:24

我的同学告诉我：我提的第二个问题“无穷多个无穷小的乘积是否为无穷小”所举的例子原来也是一个条件收敛级数调序问题。
关键：取对数

kastin · 发表于 2016-6-18 13:46:25

无穷级数重排总结：http://bbs.emath.ac.cn/thread-5656-1-1.html

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