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楼主: BC_souhait

[提问] 条件收敛的级数的重排问题

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发表于 2010-3-31 01:34:53 | 显示全部楼层
楼主可以参考一下黎曼级数定理绝对收敛的概念.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-3-31 16:49:05 | 显示全部楼层
我觉得楼主那个无穷多个无穷小相乘的例子不严密。
第无穷行怎么解释?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-3-31 17:26:09 | 显示全部楼层
还是那句话,无穷是有穷的极限。所以要“从有限看无限”。
把第k行的乘积记为Ak, 通项公式为$A_k={k^{k-1)k!}/{n!},1<=k<=n$
第n行的乘积$A_n={n^{n-1}n!}/{n!}=n^{n-1}$
$lim_{n->infty}A_n$是无穷小吗?不仅不是,相反还是阶很高的无穷大。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-3-31 22:10:35 | 显示全部楼层
有点难度  等我考虑考虑
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-3-31 22:16:11 | 显示全部楼层
13# hujunhua


在这点上,我是这样看的。我用Ak,m表示第k行前m项的乘积,我只考虑m>k的情况,那么有:

$A_{k,m}={k^{k-1}*k!}/{m!}$

那么对于任意第k行,$forall varepsilon > 0$,取$m>max{1/varepsilon ,2k}$,有:
$A_{k,m}={k^{k-1}*k!}/{m!}<1/m<varepsilon$

这不是说明对于每一行都是无穷小吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-4-1 01:07:18 | 显示全部楼层
如果k<m, 也就是说行数小于每行的项数,二维乘积能保持为1吗?不能!
k取m-1, $A_{k,m}={{m-1}^{m-2}}/m$, 是无穷小还是无穷大?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-4-1 11:53:40 | 显示全部楼层
16# hujunhua


对于这个,我想我们得到的答案不同是因为在我们在固定k,m的时候选择不同。我是固定k,然后让m趋向于正无穷,所以得到的结果是每一行都是无穷小。而你是固定了m,然后在k<m的约束下让k=m-1。事实上,我们似乎是在讨论:

$lim_{k->infty}lim_{m->infty}{k^{k-1}*k!}/{m!}=?$

固定k,我们可以得到$lim_{k->infty}lim_{m->infty}{k^{k-1}*k!}/{m!}=0$
固定m,我们可以得到$lim_{k->infty}lim_{m->infty}{k^{k-1}*k!}/{m!}=infty$

对于这种有两个变量的数列,应该怎么处理?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2010-4-2 16:54:51 | 显示全部楼层
m vs k,  关公战秦琼
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 楼主| 发表于 2010-4-3 23:36:24 | 显示全部楼层
我的同学告诉我:我提的第二个问题“无穷多个无穷小的乘积是否为无穷小”所举的例子原来也是一个条件收敛级数调序问题。
关键:取对数
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发表于 2016-6-18 13:46:25 | 显示全部楼层
无穷级数重排总结:/thread-5656-1-1.html
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