一个问题的极值推广

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设$a_i>0$,$1<=i<=n$已知$(a_1+a_2+...+a_n)*(1/a_1+1/a_2+...+1/a_n)=N^2$,($N>=n>=3$)求
$f(a_1,a_2,...,a_n)_k=(a_1^k+a_2^k+...+a_n^k)*(1/a_1^k+1/a_2^k+...+1/a_n^k)$的最大值?(简记为$F(n,k)$)

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网友shfdfzhjj提出：
设$a_i>0$,$1<=i<=n$
求证：$sqrt((a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)*(1/a_1^2+1/a_2^2+...+1/a_n^2))<=sqrt((a_1+a_2+...+a_n)*(1/a_1+1/a_2+...+1/a_n))*$
$(sqrt((a_1+a_2+...+a_n)*(1/a_1+1/a_2+...+1/a_n ))-n+1)$
注：can_hang2007声称已获证明$n>=3$时成立,$n=2$时不成立

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陈胜利老师(注$N>=3$)
利用自已编写的程序证明了$F(3,k)=f(1,(N-1-sqrt((N-3)*(N+1)))/2,(N-1+sqrt((N-3)*(N+1)))/2)_k$   
例:
$F(3,2)=(N(N-2))^2$
$F(3,3)=(N^3-3N^2+3)^2$
$F(3,4)=(N(N-2)(N^2-2N-2))^2$
$F(3,5)=(N(N^4-5N^3+5N^2+5N-5))^2$

mathe

2#有点怪，是不是应该是
$sqrt((a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)*(1/a_1^2+1/a_2^2+...+1/a_n^2))<=sqrt((a_1+a_2+...+a_n)*(1/a_1+1/a_2+...+1/a_n))*sqrt((a_1+a_2+...+a_n)*(1/a_1+1/a_2+...+1/a_n) -n+1)$

mathe

如果对所有的$a_i$均乘上一个正常数，无论是约束条件还是目标值都不会变换，所以我们不妨改约束条件为:
${(a_1+a_2+...+a_n=N),(1/a_1+1/a_2+...+1/a_n=N):}$
然后采用拉格朗日带约束条件的求极值方法，得到，存在常数$u,v$,对于每个$a_i$,有
$ka_i^{k-1}(1/{a_1^k}+...+1/{a_n^k})-k(a_1^k+...+a_n^k)*1/{a_i^{k+1}}=u+v/{a_i^2}$
将上式两边同时乘上$a_i^2$,并且对于取最大值的情况，记
$S=1/{a_1^k}+...+1/{a_n^k},T=a_1^k+...+a_n^k$
得到$a_1,a_2,...,a_n$都满足方程
$f(x)=kSx^{k+1}-kTx^{1-k}-ux^2-v=0$
其中$kS>0,kT>0$
由于$f^{(3)}(x)=kS(k+1)k(k-1)x^{k-2}+kT(k-1)k(k+1)x^{-k-2}$,所以对于x>0,三阶导数总是非负
于是$f''(x)=kS(k+1)kx^{k-1}-kT(k-1)kx^{-k-1}-2u$单调增，而$f''(0+)<0,f''(+infty)>0$,所以f''(x)=0只有唯一解，f'(x)先减后增。
$f'(x)=kS(k+1)x^k+kT(k-1)x^{-k}-2ux$最多两个零点
最后得出f(x)最多有三个零点。
也就是我们得出本问题取到最大值时，使用改变过的约束条件，$a_1,a_2,...,a_n$中最多取3个不同的值。而使用原约束条件和新约束条件的区别在于所有数据乘上一个正常数，不改变它们的相等关系，所以在取到最大值的时候，所有$a_1,a_2,...,a_n$中最多取3个不同的值

wayne

最大值处，对于每一个i,都有：
$\frac{\sum _{j=1}^n ((\frac{a_i}{a_j}){}^k-(\frac{a_j}{a_i}){}^k)}{\sum _{j=1}^n (\frac{a_i}{a_j}-\frac{a_j}{a_i})}=C$C为常数

mathe

5#的分析过程中得到的f'(x)最多有两个零点。而如果它只有一个零点或没有零点，都可以得到$f'(x)>=0$,从而得出f(x)单调增,f(x)=0唯一解，得出$a_1=...=a_n$,显然这个不是取最大值的条件。由此我们可以得出f'(x)必然正好有两个零点。对应的函数f(x)先增后减。正常情况f(x)正好3个零点。而一种比较特别的情况是其中两个零点重合。（不可能只有一个零点，不然同样得出$a_1=...=a_n$）
于是我们可以设f(x)三个零点为$u<=v<=w$(其中某两个可以相等，对于于两个零点重合的情况）。
其中如果v=1,也就是f(1)=0,我们可以得出$S=T,u=1/w$,猜测取最值总是这种情况，而且n是奇数时，正好一个取1，余下一半为u,一半为w.而n为偶数时，没有数据取1，而一半取u,一半取w.
另外，将所有上面导函数再乘上$a_i$相加，可以得出f(x)定义中最后两个系数互为相反数,于是就可以化成同wayne等价的形式。

mathe

现在假设取最值时，有$C_1$个数取$u$,$C_2$个数取$v$,$C_3$个数取$w$,其中$u<=v<=w$
那么wayne得出的极值条件可以化简为
${(\frac{C_2((u/v)^k-(v/u)^k)+C_3((u/w)^k-(w/u)^k)}{C_2(u/v-v/u)+C_3(u/w-w/u)}=C),(\frac{C_1((v/u)^k-(u/v)^k)+C_3((v/w)^k-(w/v)^k)}{C_1(v/u-u/v)+C_3(v/w-w/v)}=C),(\frac{C_2((w/v)^k-(v/w)^k)+C_1((w/u)^k-(u/w)^k)}{C_2(w/v-v/w)+C_1(w/u-u/w)}=C)}$

数学星空

2#有点怪，是不是应该是
sqrt((a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)*(1/a_1^2+1/a_2^2+...+1/a_n^2))
mathe 发表于 2010-6-14 09:25

呵，是的，编辑错误，已更正

hujunhua

我没用解析法详尽计算，仅用图解法大致看了一下，3#的答案不正确。
图解显示极大值驻点(a1, a2, a3)的坐标两两不相等，而极小值驻点的坐标有两个分量相等，所以3楼得到的应该是极小值驻点。随便将一个符合约束的点代入目标式，得到的值应该都比3楼的极大值（实为极小）要大。

如果mathe的分析方法得到的结果在n=3时与3楼一致，其正确性就堪忧。5#把S和T当常量的处理是值得商榷的。
n=4时，图解法显示，那些处于坐标轴（或者坐标面）对称面上的驻点都不是极大值的驻点。极大值驻点不在坐标轴（或者坐标面）对称面上。