一个关于双曲正弦函数的单调性问题

mathe

双曲函数是一类同三角函数有点类似的函数，比如双曲正弦定义如下:
$sh(x)={exp(x)-exp(-x)}/2$
而双曲余弦定义如下:
$ch(x)={exp(x)+exp(-x)}/2$
显然，sh(x)是奇函数,ch(x)是偶函数，而且$sh'(x)=ch(x),ch'(x)=sh(x)$
同样，类似的还有和差化积等公式也类似成立。
现在我有一个猜想，对于任意实数$0<a<b$，那么函数
${sh((a+b)x)+sh(ax)}/{sh((a+b)x)+sh(bx)}$在$x>=0$时是单调增函数。
比如a=1,b=2的图如下:

a=1,b=3的图如下:

hujunhua

mathe的目标函数就记为f(x)吧。

$sh(x)=x+x^3/6+x^5/120+O(x^7)$
用近似函数，取$sh(x)≈x$，得$f(x)={2a+b}/{a+2b}$，与x无关。这没什么惊奇的，令人惊奇的是，即使取$sh(x)≈x+x^3/6$，仍有$f(x)={2a+b}/{a+2b}$。

mathe

呵呵，这个单调性我现在已经能够证明了，不过需要使用双曲函数比较多的性质

mathe

我们再定义双曲正切函数$th(x)={sh(x)}/{ch(x)}$
我们可以直接使用这些函数的定义或性质$ch(ix)=cos(x),sh(ix)=i*sin(x)$
于是我们有性质:
i)$ch^2(x)-sh^2(x)=1$
ii)$ch'(x)=sh(x),sh'(x)=ch(x),th'(x)=1/{ch^2(x)}$
iii)$ch(x),sh(x),th(x)$在$x>=0$都是单调增函数,而且ch(x)是偶函数,sh(x)和th(x)是奇函数
iv)${(sh(x+y)=sh(x)ch(y)+ch(x)sh(y)),(sh(x-y)=sh(x)ch(y)-ch(x)sh(y)):}$
v)${sh(x)}/x$在$x>0$时是单调增函数，这个利用sh(x)在x=0的泰勒展开式就可以得到。而且定义函数在x=0时为1（也就是极限值），那么在$x>=0$时都是单调增函数。
vi)对于$0<A<B$,那么函数${sh(Ax)}/{sh(Bx)}$是单调减函数，${th(Ax)}/{th(Bx)}$是单调增函数

mathe

上面前面5个性质都很简单，我不再证明了，我们现在证明性质vi)
再补充一个性质$ch(x)>=1$
对于函数$f(x)={sh(Ax)}/{sh(Bx)}$
$f'(x)={A*ch(Ax)sh(Bx)-B*sh(Ax)ch(Bx)}/{sh^2(Bx)}={B*sh((B-A)x)-(B-A)sh(Bx)ch(Ax)}/{sh^2(Bx)}$
于是
$f'(x)=B(B-A){{sh((B-A)x)}/{B-A}-{sh(Bx)}/Bch(Ax)}/{sh^2(Bx)}<0$

mathe

同样记$g(x)={th(Ax)}/{th(Bx)}$
$g'(x)={th(Bx)ch(Bx)^2-th(Ax)ch(Ax)^2}/{th^2(Bx)ch^2(Ax)ch^2(Bx)}={sh(2Bx)-sh(2Ax)}/{2sh^2(Bx)ch^2(Ax)}>0$

mathe

现在我们可以查看原问题了
${sh((a+b)x)+sh(ax)}/{sh((a+b)x)+sh(bx)}=1-{sh(bx)-sh(ax)}/{sh((a+b)x)+sh(bx)}$
$=1-{2sh({b-a}/2x)ch({b+a}/2x)}/{2sh({a+2b}/2x)ch(a/2x)}$
$=1-{sh({b-a}/2x)ch({b+a}/2x)}/{sh(bx)}*{sh(bx)}/{sh({a+2b}/2x)}*1/{ch(a/2x)}$
$=1-{sh({b-a}/2x)ch({b+a}/2x)}/{sh({b-a}/2x)ch({b+a}/2x)+ch({b-a}/2x)sh({b+a}/2x)}*{sh(bx)}/{sh({a+2b}/2x)}*1/{ch(a/2x)}$
$=1-1/{1+{th({b+a}/2x)}/{th({b-a}/2x)}}*{sh(bx)}/{sh({a+2b}/2x)}*1/{ch(a/2x)}$
现在可以看出这个函数可以写成1减去三个单调减函数的乘积，所以是增函数

wayne

那个目标函数可以被和差化积，然后约分：
${\sinh (a x+\frac{b x }{2} ) \cosh (\frac{b x }{2} )}/{\sinh (b x+\frac{a x }{2} ) \cosh (\frac{a x }{2} )}$

wayne

8# wayne

继续和差化积：

${\sinh (a x+\frac{b x }{2} ) \cosh (\frac{b x }{2} )}/{\sinh (b x+\frac{a x }{2} ) \cosh (\frac{a x }{2} )}$ = ${\tanh ({a x}/{2})+\tanh ({(a+b)x}/2)}/{\tanh ({b x}/{2})+\tanh ({(a+b)x}/2)}$

=$\frac{2 a+b}{a+2 b}+\frac{(-2 a^4 b-a^3 b^2+2 a^2 b^3+a b^4) x^4}{120 (a+2 b)}$

0<a<b, x>0，分子恒小于分母，分子分母都是单增，易知，原式单增

mathe

你这个不能说明任意问题呀