一个关于双曲正弦函数的单调性问题

wayne

仔细想了一下，还是不解。
还请mathe明示~~

mathe

0<a<b, x>0，分子恒小于分母，分子分母都是单增，易知，原式单增
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你说的是那个分式呢？如果是分子分母都是双曲正切的那个，那么分子分母都是单调增，但是对于两者的比例，不能说明单调性，比如$x^2+1$和$x$在$x>0$都是单调增,但是${x^2+1}/x$不单调。

如果说后面的展开式，只能说明在x>0的一个充分小的领域里面单调增

wayne

12# mathe

那么分子分母都是单调增，但是对于两者的比例

比例要恒小于1才行.

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先证明${\tanh ({a x}/{2})}/{\tanh ({b x}/{2})}$单调递增。
再由：
$0<{\tanh ({a x}/{2})}/{\tanh ({b x}/{2})}<{\tanh ({a x}/{2})+\tanh ({(a+b)x}/2)}/{\tanh ({b x}/{2})+\tanh ({(a+b)x}/2)}<1$
得知，${\tanh ({a x}/{2})+\tanh ({(a+b)x}/2)}/{\tanh ({b x}/{2})+\tanh ({(a+b)x}/2)}$单调递增。

所以命题得证。

wayne

12# mathe

如果说后面的展开式，只能说明在x>0的一个充分小的领域里面单调增

附加的展开式使得我的意思有点杂糅。
我只是想揭示 2楼hujunhua 的发现。

wayne

说实话，这样的解释其实还是很不严格。
我当时脑子里一直有着比例放大的思想，所以就信马由缰了

mathe

使用的理论不对
比如函数
${e^{2x}}/{e^x}=e^x$单调增
但是函数
${e^{2x}+e^{3x}}/{e^x+e^{3x}}$不是单调

wayne

下面的命题成立吗

0<f(x)<1，x>0, f(x)单调递增。x趋于无穷时，f(x)趋于1.
如果f(x)<g(x)恒成立，且当x趋于无穷时，g(x)也趋于1,
那么，g(x)单调递增。

wayne

16# mathe
这个不算，能否举一个比例小于1的情况

mathe

没什么本质区别，可以选择
${(x-1)e^x+5*e^{x/2}}/{xe^x+5*e^{x/2}}$

wayne

嗯，有道理，函数的大小是0阶的，函数的单调性是一阶的，二者井河两不犯。