怎样解积分方程

数论爱好者

x-1/2*x^1/2=n
n已知，求解此方程很容易
在x全面加上积分符号则不能求解了
Li(x)-1/2Li(x^1/2)=N
若N已知，如何求得x？
现在我们已知它的积分运算结果，而不知此积分上限，怎样求此积分上限
这里有一个帖子，我的意思跟他相同
解决了此运算后推广到方程上去
http://www.ilovematlab.cn/thread-30536-1-1.html
解决此问题后，想将它用于素数方面的研究
素数分布的逆运算，现在已经知道有多少个素数，求第n个素数在自然数的大致范围
Li(x)-1/2Li(x^1/2)=N
N代表x范围内的素数个数，此方程能解吗

wayne

楼主的li(x)是指 对数积分函数吗？

自己算的话，是要使用一些数值分析的计算手段的。

不过，你可以偷点懒，用用数学工具：
比如，n=0的两根：0.545947, 1.22521

wayne

不过，说实在的：

素数分布的逆运算，现在已经知道有多少个素数，求第n个素数在自然数的大致范围

在Mathematica里面，有现成的函数：
Prime[n]算出第n个素数
PrimePi[x]算出不大于x的所有素数的个数

数论爱好者

对，li(x)是指 对数积分函数
我有一个数学软件正算某一范围内素数个数很容易实现（计算值，非实际分布）
反算p(n）素数有多大，不能计算
想用套用方程的思想，二者逆运算应该成立

数论爱好者

这样做是犯了循环代入的语病了吗
有下列联立方程组
{x/ln(x)=1229-y,x=(1229-y)*ln(x)}
输入一个数学软件，解答出来一组错误的答案，代入检验发现左右不相等。
而解一个方程时
1229*ln(x)=x
同样得出两个解，其中一个解是错误的。

数论爱好者

上贴说：
有下列联立方程组
{x/ln(x)=1229-y,x=(1229-y)*ln(x)}
输入一个数学软件，解答出来一组错误的答案，代入检验发现左右不相等。
上述说法是错误的
经检验，数学软件没有解错，只不过它不是我想要的解
可能我的指导思想除了问题，思路是这样：素数的分布和p（n）素数与乘除法一样，二者应该可以互为逆运算，但是素数的分布和p（n）素数与乘除法能够互为逆运算根本不是一回事。

wayne

查了一下Mathematica的素数计数函数PrimePi的文档，链接指向mathworld网站：
http://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html

得知，当n大于3时，不大于n的素数个数有一个完全精确的计数式子：

p(n)=$\sum _{j=3}^n ((j-2)!-j \lfloor {(j-2)!}/{j}\rfloor)-1$

mathe

这个好象是O(n)复杂度的公式，计算角度意义不大

数论爱好者

理论型的公式很多，那是理论数学家的爱好，如果不能快速计算对于我这个实用主义者来说，意义不大
Li(x)-1/2Li(x^(1/2))
对此函数来说在x小于10^15时，精确度是比较高的
检验了几个数，当x大于于10^15，发生了反转，计算值小于实际分布
我想当x大于于10^30时，直接取li(x)函数，不用相减了
因为在王元论哥德巴赫猜想一书中，他说，经过严格的证明，li(x)有无数多次大于实际的素数分布，也有无数多次小于实有的素数分布。如果相减，当计算值小于实际分布时，误差不是更大了吗

wayne

8# mathe

In[10]:= Timing[PrimePi[10^11]]

Out[10]= {1.966, 4118054813}

In[11]:= Timing[PrimePi[10^12]]

Out[11]= {9.781, 37607912018}

In[12]:= Timing[PrimePi[10^13]]

Out[12]= {49.718, 346065536839}

In[13]:= Timing[PrimePi[10^14]]

Out[13]= {236.123, 3204941750802}

In[14]:= Timing[PrimePi[10^15]]

During evaluation of In[14]:= PrimePi::largp: Argument 1000000000000000 in PrimePi[1000000000000000] is too large for this implementation. >>

Out[14]= {0., PrimePi[1000000000000000]}

那PrimePi函数用了什么算法呢