过两定点作圆弧，交割并平分已知圆周

showjim

既然这个圆心是唯一的，那么D由A,B,O组成的表达式是什么

wayne

11# showjim
嗯，刚才用Java几何专家软件模拟了一下，发现圆心是唯一的。

应该先从解析几何的角度出发，把弓形当做已知条件，待解出各种数量关系之后，找出一个最简易的方法即是反过来作图。

hujunhua

呵呵，我在9#已经说过，从解析几何的计算结果翻译或者引导的作法难得最简，特别是难得有明确的几何意义。mathe那个作法，如果不看解析几何的计算，你想在平面几何的范围内回头证明是比较费事的。所以，wayne 这个方向，终究是南辕北辙。

因为，几何意义与代数表达式的之间繁简对应，大体上呈反比关系。大多数深奥而又简明的几何关系，其代数表达式往往极其复杂。所以想从复杂的表达式中还原简明的几何意义，跟加密和解密的关系有得一比。

最简单的1个例子：如果用直角坐标表示三角形的三个顶点，然后用距离公式、反三角函数等组合起来写出三角形内角和为平角这一事实，该有多复杂！如果不是事先从平面几何中知道这个事实，谁能想像左边那么恐怖的一大串式子居然可以化简为π这么个常数。

hujunhua

再以四点共圆的判据为例
在平面几何中最常用的是对角和为平角，但在解析几何中是不用这个判据的，写起来一大串，还不好用。代数上的判据是一个行列式：
$|(x_1^2+y_1^2, x_1, y_1, 1),(x_2^2+y_2^2, x_2, y_2, 1),(x_3^2+y_3^2, x_3, y_3, 1),(x_4^2+y_4^2, x_4, y_4, 1)|=0$
这个区别太大了。

wayne

13# hujunhua

这至少是一种可行的路子，未知并不等于就没有简洁的方法。大大知道有没有最快的方法作出过抛物线上一定点的切线吗？

不借用解析几何的手段，我不知道能否有快捷手段，大大不妨试试
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我以前看过一个很旧很旧的大部头《解析几何题典》，大概有1000页，里面涉及到了好多的简洁的几何命题，简洁的证法。

mathe

这个切线的例子觉得不好，这个基本还是不用解析几何的。
焦点和对称轴是否已知？如果已经那么很简单，利用光学意义就可以了。
如果不知道，还可以利用极线极点的性质。
其实可以问如果不知道抛物线的对称轴，如何做出？这个显然利用解析几何容易分析。类似还有找椭圆中心等

wayne

我说的这个方法只需用尺子丈量一个长度就能解决问题，用光学性质作图还是复杂了点

wayne

16# mathe

抛物线对称轴是已知的

wayne

14# hujunhua
个人感觉，初等几何证明传统的那种思维方式其实是跳跃性的，不够系统，经验不足的话是很难游刃有余的。

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刚才通过画图，计算了一下，发现，通过“简单的用直尺截取长度的方法”，或者“过三点作圆”不能显而易见的办到。

mathe

尺子量长度的说法不贴切，不过在对称轴的截距的确比较特殊。不过这个可以用极线的概念轻易解决。
取切线同对称轴的交点，那么这个点的极线就是过原先那个切点并且同对称轴垂直的直线。
所以对称轴同极线的交点和极点关于抛物线共轭，也就是它们和对称轴同抛物线两个交点（一个在无穷远点）构成交比为-1，也就是一个交点是中点