这个函数的积分有初等函数解吗

wayne

$\int\frac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-71}}dx$

听说有的，但是把上面的71换成72就没有初等函数解了：
$\int\frac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-72}}dx$

俺已经看了资料，所以就不多说了，有兴趣的不妨研究一下

wayne

Mathematica虽然能给出解析解来，但是用椭圆积分表示的，而且用了FullSimplify，半天都没反应。估计已经到了Mathematica的极限了。
据说，只有Axiom 软件才能给出初等解来：

wayne

用了好几分钟，运行自动终止了。
Mathematica化简不了原本是初等函数的表达式

wayne

该题积分结果
$-\frac{1}{8} \ln( (x^6+15 x^4-80 x^3+27 x^2-528 x+781) \sqrt{x^4+10 x^2-96 x-71}-(x^8+20 x^6-128 x^5+54 x^4-1408 x^3+3124 x^2+10001))+C$

wayne

拿这题考人倒是挺不错的，

wiley

凑巧前几个星期在讨论 $x^x$ 的原函数是不是初等函数

这个涉及的知识有点偏, 是属于 differential Galois theory.  可以用 Risch algorithm 来判断
(Wayne举的例子就来自于wiki)

wayne

6# wiley

wiley的帖子简直是字字珠玑啊。

wayne

凑巧前几个星期在讨论 x^x 的原函数是不是初等函数
wiley 发表于 2010-8-19 10:46

敢问wiley你们讨论的结果咋样了，可否共享出来。
我觉得不是，但我没法证明。

wayne

6# wiley
在哪讨论的，也是论坛吗，俺想看看你们的讨论过程

wiley

Wayne, 只是有人翻 旧帖 .  wiki上有写 $x^x$ (和 $\sin(x)/x$ ) 的原函数不是初等函数, 似乎从 Liouville's theorem 得到的, 我不能确定.

之前的思路是把 $x^x=e^{x\ \ln(x)}$ 展开成 $x\ \ln(x)$ 的级数, 然后每一项可以分部积分.  后来才知道这个方法是 Johann Bernoulli 曾用来求定积分 $\int_0^1\ dx\ x^x$ 的