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[分享] 这个函数的积分有初等函数解吗

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发表于 2010-8-18 09:42:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
$\int\frac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-71}}dx$

听说有的,但是把上面的71换成72就没有初等函数解了:
$\int\frac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-72}}dx$

俺已经看了资料,所以就不多说了,有兴趣的不妨研究一下
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-8-18 10:52:22 | 显示全部楼层
Mathematica虽然能给出解析解来,但是用椭圆积分表示的,而且用了FullSimplify,半天都没反应。估计已经到了Mathematica的极限了。
据说,只有Axiom 软件才能给出初等解来:

Integration.jpg
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 楼主| 发表于 2010-8-18 10:55:03 | 显示全部楼层
用了好几分钟,运行自动终止了。
Mathematica化简不了原本是初等函数的表达式
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 楼主| 发表于 2010-8-19 10:23:00 | 显示全部楼层
该题积分结果
$-\frac{1}{8} \ln( (x^6+15 x^4-80 x^3+27 x^2-528 x+781) \sqrt{x^4+10 x^2-96 x-71}-(x^8+20 x^6-128 x^5+54 x^4-1408 x^3+3124 x^2+10001))+C$
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 楼主| 发表于 2010-8-19 10:27:30 | 显示全部楼层
拿这题考人倒是挺不错的,
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发表于 2010-8-19 10:46:39 | 显示全部楼层
凑巧前几个星期在讨论 $x^x$ 的原函数是不是初等函数

这个涉及的知识有点偏, 是属于 differential Galois theory.  可以用 Risch algorithm 来判断
(Wayne举的例子就来自于wiki)

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 楼主| 发表于 2010-8-19 11:31:04 | 显示全部楼层
6# wiley

wiley的帖子简直是字字珠玑啊。
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 楼主| 发表于 2010-8-19 11:35:12 | 显示全部楼层
凑巧前几个星期在讨论 x^x 的原函数是不是初等函数
wiley 发表于 2010-8-19 10:46

敢问wiley你们讨论的结果咋样了,可否共享出来。
我觉得不是,但我没法证明。
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 楼主| 发表于 2010-8-19 11:35:59 | 显示全部楼层
6# wiley
在哪讨论的,也是论坛吗,俺想看看你们的讨论过程
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发表于 2010-8-20 08:48:29 | 显示全部楼层
Wayne, 只是有人翻 旧帖 .  wiki上有写 $x^x$ (和 $\sin(x)/x$ ) 的原函数不是初等函数, 似乎从 Liouville's theorem 得到的, 我不能确定.

之前的思路是把 $x^x=e^{x\ \ln(x)}$ 展开成 $x\ \ln(x)$ 的级数, 然后每一项可以分部积分.  后来才知道这个方法是 Johann Bernoulli 曾用来求定积分 $\int_0^1\ dx\ x^x$ 的
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