这个函数的积分有初等函数解吗

wayne

10# wiley
顺着旧帖的指引，我下载到了The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue  这本书，在48-51页里面，找到了伯努利的详细推导过程。
根据这个分部积分，伯努利得到该积分值是这个一个无穷级数：

$\sum _{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^{k-1}}{k^k}=1-1/2^2+1/3^3-1/4^4+1/5^5+...$

wayne

很神奇，总感觉可以通过作图法来说明那个积分的结果就是这个无穷级数

wiley

Wayne, 如果能有几何上的解释为什么等式两边都是 $x^x$ 的形式, 应该更神奇

不知道有没有其他的函数满足:
\(\int_a^b dx\ f(x)=\sum_{i=m}^n(-1)^if(i)\)
或
$\int_a^b dx\ f(x)=\sum_{i=m}^nf(i)$

wayne

13# wiley
看来是有点凑巧：
(x*lnx)^n的原函数是 x^a*(lnx)^b 的和的形式加上一个(-1)^(n+1)*x^(n+1)/(n+1)^(n+1),
而在(0,1)区间内， x^a*(lnx)^b 为0，就剩下后面的部分了。

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在(0,1)区间内，似乎(x^k*lnx)^n是最好的形式了。
我用Mathematica计算了一下：
$\int_0^1 x^{x^k}\dx = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{(k n+1)^{n+1}}$

wayne

最近又玩起了ArchLinux, 安装了FriCAS， 计算了下，秒杀了。只是这个排版，实在不敢恭维。

1. integrate(x/sqrt(x^4+10*x^2-96*x-71),x)

复制代码

而Mathematica返回的是一堆的超越函数和复数的乱七八糟的表达式

.·.·.

wayne 发表于 2018-12-1 21:43
最近又玩起了ArchLinux, 安装了FriCAS， 计算了下，秒杀了。只是这个排版，实在不敢恭维。

感觉71能积分72积不动的原因是
Solve[x^4 + 10 x^2 - 96 x - 71 == 0, x]
\(\left\{\left\{x\to \sqrt{3}-2 \sqrt{2 \left(\sqrt{3}-1\right)}\right\},\left\{x\to \sqrt{3}+2 \sqrt{2 \left(\sqrt{3}-1\right)}\right\},\left\{x\to -\sqrt{3}-2 i \sqrt{2 \left(\sqrt{3}+1\right)}\right\},\left\{x\to -\sqrt{3}+2 i \sqrt{2 \left(\sqrt{3}+1\right)}\right\}\right\}\)
Solve[x^4 + 10 x^2 - 96 x - 72 == 0, x]
\(\left\{\left\{x\to -\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{1}{3} 2 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-96 \sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}-\frac{40}{3}+\frac{382}{3 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}}\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \sqrt{-\frac{1}{3} 2 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-96 \sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}-\frac{40}{3}+\frac{382}{3 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}}\right\},\left\{x\to \frac{1}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}}-\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{1}{3} 2 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}+96 \sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}-\frac{40}{3}+\frac{382}{3 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}}\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \sqrt{-\frac{1}{3} 2 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}+96 \sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}-\frac{40}{3}+\frac{382}{3 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}}\right\}\right\}\)

葡萄糖

\[ {\large{\int}}\frac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-71}}{\mathrm{d}}x \]
https://math.stackexchange.com/q ... sqrtx410x2-96x-71dx