数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
12
返回列表 发新帖
楼主: wayne

[分享] 这个函数的积分有初等函数解吗

[复制链接]
 楼主| 发表于 2010-8-20 10:02:02 | 显示全部楼层
10# wiley
顺着旧帖的指引,我下载到了The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue  这本书,在48-51页里面,找到了伯努利的详细推导过程。
根据这个分部积分,伯努利得到该积分值是这个一个无穷级数:

$\sum _{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^{k-1}}{k^k}=1-1/2^2+1/3^3-1/4^4+1/5^5+...$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-8-20 10:08:22 | 显示全部楼层
很神奇,总感觉可以通过作图法来说明那个积分的结果就是这个无穷级数
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-8-22 10:27:20 | 显示全部楼层
Wayne, 如果能有几何上的解释为什么等式两边都是 $x^x$ 的形式, 应该更神奇

不知道有没有其他的函数满足:
\(\int_a^b dx\ f(x)=\sum_{i=m}^n(-1)^if(i)\)

$\int_a^b dx\ f(x)=\sum_{i=m}^nf(i)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-8-22 11:19:33 | 显示全部楼层
13# wiley
看来是有点凑巧:
(x*lnx)^n的原函数是 x^a*(lnx)^b 的和的形式加上一个(-1)^(n+1)*x^(n+1)/(n+1)^(n+1),
而在(0,1)区间内, x^a*(lnx)^b 为0,就剩下后面的部分了。

================================
在(0,1)区间内,似乎(x^k*lnx)^n是最好的形式了。
我用Mathematica计算了一下:
$\int_0^1 x^{x^k}\dx = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{(k n+1)^{n+1}}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-1 21:43:28 | 显示全部楼层
最近又玩起了ArchLinux, 安装了FriCAS, 计算了下,秒杀了。只是这个排版,实在不敢恭维。
  1. integrate(x/sqrt(x^4+10*x^2-96*x-71),x)
复制代码


Screenshot from 2018-12-01 21-57-15.png


而Mathematica返回的是一堆的超越函数和复数的乱七八糟的表达式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-3 20:31:11 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2018-12-1 21:43
最近又玩起了ArchLinux, 安装了FriCAS, 计算了下,秒杀了。只是这个排版,实在不敢恭维。

感觉71能积分72积不动的原因是
Solve[x^4 + 10 x^2 - 96 x - 71 == 0, x]
\(\left\{\left\{x\to \sqrt{3}-2 \sqrt{2 \left(\sqrt{3}-1\right)}\right\},\left\{x\to \sqrt{3}+2 \sqrt{2 \left(\sqrt{3}-1\right)}\right\},\left\{x\to -\sqrt{3}-2 i \sqrt{2 \left(\sqrt{3}+1\right)}\right\},\left\{x\to -\sqrt{3}+2 i \sqrt{2 \left(\sqrt{3}+1\right)}\right\}\right\}\)
Solve[x^4 + 10 x^2 - 96 x - 72 == 0, x]
\(\left\{\left\{x\to -\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{1}{3} 2 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-96 \sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}-\frac{40}{3}+\frac{382}{3 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}}\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \sqrt{-\frac{1}{3} 2 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-96 \sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}-\frac{40}{3}+\frac{382}{3 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}}\right\},\left\{x\to \frac{1}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}}-\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{1}{3} 2 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}+96 \sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}-\frac{40}{3}+\frac{382}{3 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}}\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \sqrt{-\frac{1}{3} 2 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}+96 \sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}-\frac{40}{3}+\frac{382}{3 \sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}-\frac{191}{\sqrt[3]{54 \sqrt{125110}+18917}}-10}}}\right\}\right\}\)

评分

参与人数 1威望 +3 金币 +3 贡献 +3 经验 +3 鲜花 +3 收起 理由
wayne + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 发现了差别,赞一个

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-14 18:54:23 | 显示全部楼层
\[ {\large{\int}}\frac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-71}}{\mathrm{d}}x \]
https://math.stackexchange.com/q ... sqrtx410x2-96x-71dx

评分

参与人数 1威望 +3 金币 +3 贡献 +3 经验 +3 鲜花 +3 收起 理由
wayne + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 给出了解法细节,赞一个!

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-11-25 10:12 , Processed in 0.282553 second(s), 22 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表