一个PI是无理数的证明

mathe

转载自http://tieba.baidu.com/f?kz=158883423
假设$pi$是有理数，则可以设$pi=a/b$其中a,b为互素的正整数。  
令$f(x)={x^n(a-bx)^n}/{n!}=b^n xx {x^n(pi-x)^n}/{n!}$
那么$f(pi-x)=f(x)$
若$0<x<pi$,则  
$0<f(x)<{pi^na^n}/{n!}$  
由于在这个区间，同时$0<sinx<1$
以上两式相乘得：  
$0<f(x)sinx<{pi^na^n}/{n!}$  
当n充分大时，,在$[0,pi]$区间上的积分有  
$0<\int_0^{pi} f(x)sinxdx <{pi^(n+1)a^n}/{n!}<1$ …………（1）  
又令：$F(x)=f(x)-f"(x)+f^{(4)}(x)-...+(-1)^nf^{(2n)}(x)$,(表示偶数阶导数)  
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，
(当导数阶数小于n,在x=0这点取0,而$f^{(n)}(x)$是整系数多项式)
由于$f(pi-x)=f(x)$,所以$f(x)$及其各阶导数在$x=pi$处的值也都是整数。
由此我们得到$F(0)$和$F(pi)$都是整数
又因为  
${d(F'(x)sinx-F(x)cosx)}/{dx}$
$=F''(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx$
$=F''(x)sinx+F(x)sinx$
$=f(x)sinx$
所以有：  
$\int_0^{pi} f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]|_0^{pi}$  
$=F(pi)+F(0)$  
上式表示$\int_0^{pi} f(x)sinxdx$为整数，这与（1）式矛盾。所以$pi$不是有理数，又它是实数，故$pi$是无理数。

无心人

$f(x)={x^n(a-bx)^n}/{n!} -> f(pi - x) = f(x)$
什么意思？

mathe

上面补充了一步，应该比较容易看懂一些了

无心人

觉得这个证明存在问题
$pi$， $sinx$是相关的吧

mathe

没看出问题。
只是这个证明太复杂，很难想到。

无心人

我觉得pi是无理数和sinx是超越函数是紧密相连的
如果pi不是无理数，sinx也要假设是非超越函数
那就不要在这个证明里加入sinx
或者说只要pi是有理数
那一切和pi关联的函数其性质都要重新判定

mathe

没有，这里并没有用到sinx什么特殊的性质。

无心人

0 < sinx < 1
用到了
如果pi是有理数则可能sinx是不连续函数！！

无心人

就可能不能求导数

mathe

没有的事，三角函数的定义没有用到$pi$是无理数的性质。