球面上的田埂

zgg___ · 发表于 2010-11-25 12:51:10

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gxqcn老大提出了田埂问题之后，引起了大家的兴趣。我觉得这个问题中包含了某种“结构”（呵呵，我也说不清楚什么叫做“结构”），所以有趣。老大的初始田地是方块和圆形的，其中貌似圆形更“一般”些。我这里想把情况再“一般”一些，所以大家来考虑球上的田埂吧。本应在老大的帖子之上进行讨论，但是貌似里面有一些独立的内容，就开了新贴。

球上田埂问题：将球的表面分为n个区域，每一块的面积都相等，要求区域的分界线最短，问如何划分。（注：假设这里的“面积”定义是清楚的。假设这里的“区域”也可以是不连通的区域，这样“每一块”就是对于区域而言，而不是对于连通的面积而言。）

可以看到，KeyTo9_Fans提出的形成局部田埂最短的条件还是适用的。（圆弧垂直于田地边界这一条不适用了，因为没有田地边界了，呵呵。）hujunhua提出的力学性质也应该是依旧成立的。

关于田埂问题就先说到着吧，附加一个可能相关的问题。呵呵。就是传说中的平面和球面的映射关系。

如图，在平面S上方有一个点L，L和S的距离LO是1，以LO为直径有一个球，假设点L是一个点光源，通过光线，可以将球面上的点和平面上的点一一对应（图中点A和点B是对应的）。对于这个映射：
1、在球面上的一段“圆弧”，对应于平面上的什么图形呢？（保圆弧）
2、在球面上的一个“角”，对应到平面上的角的大小一样么？（保角）

关于Riemann映射，针对于微分几何知识为零的同学，大家对此有没有什么比较“直观”的证明思路呢？

hujunhua · 发表于 2010-11-25 18:15:36

搜索一下“球极映射”会找到有用的资料的

mathe · 发表于 2010-11-25 18:27:24

根据保角性，角度等分的性质估计能够保存。但是不知道曲率和为零的条件会转化为什么条件

hujunhua · 发表于 2010-11-25 20:02:50

球面田梗问题应该有更规则的解。
2等分不用说是两半球，3等分无疑是三瓣桔，4、6、12等分为正多面体，8、20可能不是正多面体。
足球的32张皮（12张5边形，20张6边形）是可以做到面积一样大的，但是如果保持所有的边都是大圆弧，就不是最小解。达到最小解可能要求5边形的边向外鼓一点。

假定最优解的拓扑都是正则图，并且区域都是连通的，那么由F+V-E=2及3V=2E可得
V=2(F-2),  E=3(F-2)
将$2E=3F_3+4F_4+5F_5+6F_6+7F_7+8F_8+...+nF_n$代入上式得
$3F_3+2F_4+F_5=12+F_7+2F_8+...+(n-6)F_n$

5等分, 即F=5，得V=6，E=9, 由
$3F_3+2F_4=12$
$F_3+F_4=5$
解得$F_3=2,  F_4=3$,  结果是个正三棱柱。

7等分，F=7， V=10，E=15，可以假定不存在$F_6$及以上的域，那么由
$3F_3+2F_4+F_5=12$
$F_3+F_4+F_5=7$
解得
1、$F_3=0,  F_4=5,  F_5=2$,  为正五棱柱
2、$F_3=1,  F_4=3,  F_5=3$,  拓扑同构于正方体削去一角
3、$F_3=2,  F_4=1,  F_5=4$,  这个拓扑是什么样的我一时还画不出来。

zgg___ · 发表于 2010-11-26 14:04:12

To 4层：
拓扑耶，真好，呵呵。
第3种情况，即2个三角形、1个四边形、4个五边形貌似是无法围成一个体积的。因为不存在7个顶点且顶点度数分别为3345555的平面图。
还有为什么要假定不存在F6呢？是不是因为在球面上每个顶角都是120度的6边形面积一定趋于零呢。但是我没有想明白当容许边为圆弧（即不是球的大圆）时的情况。呵呵。

hujunhua · 发表于 2010-11-27 00:49:01

还有为什么要假定不存在$F_6$呢？是不是因为在球面上 ...
zgg___ 发表于 2010-11-26 14:04

一般来说, 最优解不会存在两个相邻域有两条邻接边的情况. 所以对于 $\displaystyle\blue{F}={7}$ , 如果存在 $\displaystyle\blue{F}_{{6}}$ 的话, 必是正六棱锥. 但正六棱锥不是正则图.

凭直觉, 我曾认为对于任意大的 $\displaystyle\blue{F}$ , 最优解都不会包括 $\displaystyle\blue{F}_{{7}}$ 以上的域, 所以都会成立
$\displaystyle\blue{3}{F}_{{3}}+{2}{F}_{{4}}+{F}_{{5}}={12}$
$\displaystyle\blue{F}_{{3}}+{F}_{{4}}+{F}_{{5}}+{F}_{{6}}={F}$
因此, 对于较大的F, 绝大多数的域是 $\displaystyle\blue{F}_{{6}}$ .

令人疑惑的是，这么一来，必定会产生大片大片的蜂巢状六边形网。要使其中的每个六边形内角和都保持为720度，其6条边总体上应该是凹进去的, 可是它的一边凹进，对它的邻域来说就是凸出了。直边（大圆弧也）六边形域本来就有角盈，还让其某一边外凸，有点匪夷所思啊！

hujunhua · 发表于 2010-11-27 00:52:01

第3种情况，即2个三角形、1个四边形、4个五边形貌似是无法围成一个体积的。因为不存在7个顶点且顶点度数分别为3345555的平面图。zgg___ 发表于 2010-11-26 14:04

为什么? 7个顶点且顶点度数分别为3345555会包括K33或者K5吗?

mjs1wh · 发表于 2010-12-5 09:20:50

要用凸多边形围成一个体积，任意两个多边形只能共用一条边，同一个多边形不能与自身共边，这样，4个五边形共20条边，两两共边后剩12条边，再分别与1个四边形共边后还剩下8条边，而2个三角形只有6条边，所以不能形成封闭图形。

zgg___ · 发表于 2010-12-20 15:00:11

直接来讨论最简单的情况吧，定义“球面等压多面体”为单位球上的“多面体”，且：
1、所有的边都是球面直线，即球面大圆的一部分，且0<长度<Pi；
2、所有的顶点都连接着3条边，且这3条边平分360度。
我们的目标是找出所有的“球面等压多面体”。
首先，我们知道它的面只能是三角形、四边形和五边形，而且面积分别是整个球面的1/4、1/6和1/12，因此总数估计不会超过20个。它们包括：三棱锥（正四面体）、三棱柱、四棱柱（立方体）、五棱柱、三牙柱（顶面和底面为三角形，柱子的侧面由2x3=6个五边形构成，分上下两层象拉锁牙齿那样交替着扣着）、四牙柱、五牙柱（正十二面体）。除了上面的7种，还有别的么？
PS：
To hujunhua 6层，恩，是呀，胡乱猜测6边形都挤在一起，就像玉米棒子一样，在两头用5边形过渡一下，然后是3角形或4边形。呵呵。
To hujunhua 7层，没有那么高明呢，呵呵，我只是穷举了所有的7个节点的图。

zgg___ · 发表于 2010-12-27 14:03:57

又找到了一个，如图，它由4个四边形和4个五边形（五边形的5个顶点不共面）构成，4个五边形连成一个圈，将4个四边形分为两组，每组两个。这样，现在总共就有8种了。

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