球面上的田埂

zgg___

补充03如下图，再去看看还有没有漏掉的。

zgg___

呵呵，这次应该是问题不大了。

也不知道这8种结构是不是真的是“稳定”的。
例如在4层提到的球上单个大圆和三瓣桔都是满足极小值条件的，但是如果用绳子那样绑住球，是会脱落的。
这里尝试着定义一下什么是“稳定”，也就是如果在球上有那样分布的“趋于收缩的田埂”，那么当它们受到扰动的时候，是不是还是稳定的。
定义弱稳定：如果少数点（比如说有限多的点，这里定义的不清楚，呵呵）微微偏离（就是微扰了）原来的位置，不会使总长度减少，那么就说它是弱稳定的。
定义稳定：如果即使所有的点都微微偏离原来的位置也不会使总长度减少，那么就说它是稳定的。
显然弱稳定是稳定的前提，所有的8种球面等压多面体都是弱稳定的，问题是它们是稳定的么？

hujunhua

计算了一下, g03属于第一类, 也就是存在对应的等压体. 所以第一类有8个.

除了单个大圆和三瓣桔，四面体以上的都是可以绑住球不滑脱的，因为每个$F_3$，$F_4$或者$F_5$洞的周边长度小于$2\pi$

hujunhua

关于稳定性，我们现在不说堤埂了，看作捆球的网兜。
将网兜的线织成双股的，在每个结点处三根线互相扭绕而不打结（如下图），那么整个网兜可以用一根绳编织起来，把绳两端也接上，整个网兜就是自相缠绕的绳环。
假定绳是皮筋有弹性，球足够大使网兜绷得足够紧，绳在结点和球面上可以自由无摩擦地滑动，那么网兜将自动地张成最稳解。最稳解无疑将具有等压多面体的特征。

hujunhua

g03的球极射影图。最外面的3个点是同一点，也就是射影极点，它们是射向无穷远的。

球极射影有2个良好特性：保角性和保圆性。注意每个结点处都是三等分周角。

这个图展示了g03对称性。

看不明白球极射影的，可以只看红色部分，把红色部分当成上半球，下半球上的图与此完全重合被遮住。

zgg___

To hujunhua的23和24层：
虽然弱稳定（即具备球面等压多面体的特征）是稳定的前提，但是并能不说明球面等压多面体是稳定的。现在我反倒是倾向于它们是不稳定的，呵呵，正在矛盾中呢。

zgg___

26层的矛盾的解决了，原来是我算错了，呵呵。我为了验证等压体是稳定的，就计算了一些非等压体的总弧长，来验证等压体的总弧长是局部最短的。我的矛盾来自于：一面是强大的力学原理，一面是总弧长的函数的导数在等压体时不是0的数据事实，我昨天只好屈从于数据事实了，所以“反倒是倾向于它们是不稳定的”。后来一看，原来是计算错了，呵呵，数据事实恰好验证了稳定性。所以我认为hujunhua的23和24层的结论是对的，并且网兜的说法是生动的，这种说法巧妙的回避了它们不是一笔画的问题。看来稳定性也不是问题了，这也说明这些结构具有某种特殊性，或许从稳定性角度可以更好的定义这种结构，也不知道自然界有没有与之对应的结构。
这里我感慨一下力学原理的强大，同时也感慨一下我现在计算能力的下降，呵呵。
接下来，一方面，我们或许可以分析一下这些结构里有没有什么规律；另一方面，我们或许可以考虑其它的“曲面”来作为“空间”，不是说“曲面”不影响其上的“几何”么，呵呵，既然已经成了“网兜”，那么就可以来装其它东东了，我们考虑一下用来装“圆盘”或者是“方块”吧。