平面几何题-----证明或证伪

wayne · 发表于 2010-12-15 17:32:48

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一道平面几何题，证明或证伪之，越简单越好，我感觉我的方法不够简单。
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在凸四边形ABCD中，∠CAB=∠CAD，E在AC上. DE,BE分别交BC,CD于F,G.
证明：∠CAF=∠CAG

图片仅供参考

tprime · 发表于 2010-12-15 18:53:50

这么好的题, 一定要证明出来

hujunhua · 发表于 2010-12-16 01:06:13

成立. 用射影几何+三角变换, 证明应该算是简明的, 但不是平面几何方法了.

hujunhua · 发表于 2010-12-16 20:52:12

如图，连结BD，交AC于H。延长AB和DC相交于I，延长AD和BC相交于J。按图用小写字母标记各直线。

将直线 f 以直线 c 为轴反射得到直线 f'，通过一连串的透视关系可得到直线 f' 与 g 重合。

注1、A (bcdf)表示线束，括号前面的A为线束的扎点。3(BCJF)表示点列，括号前面的3表示点列的底。
注2、$V/{3(BCJF)}$为透视关系符号，等号下面的点列为透视轴。

wayne · 发表于 2010-12-17 13:51:35

4# hujunhua

,看不懂啊。

wayne · 发表于 2010-12-17 14:08:00

4# hujunhua
我画了一个图：
无标题.JPG

wayne · 发表于 2010-12-17 14:13:54

1# wayne
我用了梅涅劳斯定理，接着再折腾几下子，解出来的，但后面的折腾严重的依赖于图形的结构~~

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两次运用梅涅劳斯定理，可以得出这个等式，${EB*ED}/{EF*EG} ={CB*CD}/{CF*CG}$
可我总感觉好像可以从某定理一步到位的列出来，忘了名字了。不知道谁记得

gxqcn · 发表于 2010-12-17 14:22:10

我试着证明过，感觉需要借助面积，后来发现用梅涅劳斯定理蛮不错的，再后来发现该定理就是用面积证明的。

wayne · 发表于 2010-12-17 14:22:15

4# hujunhua

可以在线使用 java几何专家来画图,

:
http://www.cs.wichita.edu/~ye/gex.html

wayne · 发表于 2010-12-17 14:31:32

8# gxqcn
是的，是面积法，我没有卖关子。

梅涅劳斯定理具有普适性，可后面的面积手段就严重依赖于图形的结构，这是我最不满意的地方，不知道有没有什么比较好的方法规避之.

这是我的证法：

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