平面几何题-----证明或证伪

hujunhua

梅涅劳斯定理具有普适性，可后面的面积手段就严重依赖于图形的结构，这是我最不满意的地方，不知道有没有什么比较好的方法规避之.wayne 发表于 2010-12-17 14:31

换个说法，避开角度。因为两条直线的夹角在0~2π内有4个值，很多时候取决于图形直观。

如图，A在完全四线形1234的一条对顶线(14)(23)（标记为m者）上，若从A连到完全四线形的第二对对顶点（12)、(34）的两条直线a, b关于m对称，那么连到第三对对顶点（13)、(24）的两条直线c, d也关于m对称。

wayne

11# hujunhua

完全四线形，对偶，真真的火星人的思维，orZ~~

hujunhua

对于3#的那个证明，wayne不解，mathe有责。因为mathe的射影几何简介对wayne没有完全起到射影几何导引的作用。
mathe的介绍倾向于代数化，不是原汁原味的几何。

hujunhua

即使如11#那样陈述，wayne的这个命题也不属于射影几何。但是这并不妨碍其对偶定理的成立。

对照11#的陈述，将点改为直线，直线改为点，对偶命题为

如图，直线a过完全四点形1234的一个对边点(14)(23)（标记为M者），若a交完全四点形的第二对对边（12)、(34）的两个交点A，B关于M对称，那么交到第三对对边（13)、(24）的两个交点C、D也关于M对称。

这实质上就是两相交直线(退化二次曲线之一)上的蝴蝶定理。把直线13和24看作一条二次曲线Γ，定理陈述如下：
Γ的弦CD、23、14三线共点M，弦12、34交CD于A，B。若M是CD的中点，则MA=MB。

mathe

对于3#的那个证明，wayne不解，mathe有责。因为mathe的射影几何简介对wayne没有完全起到射影几何导引的作用。
mathe的介绍倾向于代数化，不是原汁原味的几何。
hujunhua 发表于 2010-12-18 18:26

的确如此，这个同我比较喜欢代数有关系，而这方面如果hujunhua能够多介绍一下应该更加好，对于射影几何你应该比我更加熟悉。
另外，我那边的介绍也更加偏向于二次曲线的内容，所以将非常基本的透视关系有意绕开了。
而很多情况，的确透视关系非常有用，其实原理很简单。
我们将过一个点的直线称为线束，同样同一条直线上的一些点可以称为点束。
如果有两个点束$A_1,A_2,...,A_n,B_1,B_2,...,B_n$，它们关于同一个点O透视,也就是直线$A_1B_1,A_2B_2,...,A_nB_n$都经过点O,我们称这两个点束是满足透视关系的。
同样，如果两个线束对应直线的交点共线，它们也满足透视关系。
而我们还可以将透视关系进行传递，而且点束和线束之间的透视关系可以相互传递（线束可以传递到它们同任意固定直线交出的点束，同样点束可以传递到它们同任意固定点连成的线束）
而根据交比的定义，我们知道，满足（直接或间接）透视关系的任意点束或线束上4个对应元素
之间的交比相等。由此，我们可以知道，对于一个点束或线束，如果确定它和另外一个给定的点束或线束满足透视关系，而只要确定其上面三个元素，余下的所有元素的位置必然唯一确定。
而我们最常用的情况会使用4个元素的点束或线束。而hujunhua的证明过程就是反复利用透视关系进行传递，最后得出两个线束三条对应直线都重合，那么余下的那条自然也重合了。

wayne

13# hujunhua
,
其实mathe的那个代数化解释很好看懂,
只因俺一时还改不掉阿里巴巴人的几何思维习惯,或者说我浮躁也行,所以看了也相当于没看~~
问责mathe,那是巨大的冤枉啊

wayne

14# hujunhua
我用java几何专家软件模拟了一下,共有六种图形(不知道对于一般的ABCD是不是都有六种情况).
点F和点G分居在AC的两侧,则那两个角相等,
同侧 就互补.
互补的那个图形贴在6楼了.

这个是我在对我的证明方法表示不满的时候才发现的。

wayne

15# mathe
等我有了一个稳定的环境，我一定会认真而严肃的学习 神奇的射影几何的

dlsh

可以考虑用复数方法，不难。