一道考研 概率题

wayne

呵呵，emath好像没有人问考研题吧，俺开个头~~

向平面区域G：0<=y<=4-x^2,x>=0内随机等可能的投掷一点。
问，过该点作出的y轴的平行线，x轴，y轴，曲线y=4-x^2 所围成的曲边梯形的面积的数学期望 是多少

056254628

我来试算一下：

设随机点的横坐标为x，那么围成的曲边梯形的面积Sp=$4*x-x^3/3$
平面区域G的面积S=16/3
   随机点横坐标取x的概率dP=$(4-x^2)/S*dx$
Sp的期望值=$\int_0^2Sp*dP$=$\int_0^2(4*x-x^3/3)*(4-x^2)/S*dx
    =(1/18*2^6-4/3*2^4+8*2^2)/S=8/3

056254628

B语言模拟取随机点过程：

N = 10000000    '模拟次数
For i = 1 To N

Do
    x = Rnd() * 2
    y = Rnd() * 4
Loop Until y <= 4 - x ^ 2

S = 4 * x - x ^ 3 / 3
SS = SS + S

Next i

期望值 = SS / N
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结果=2.66682898367923

wayne

3# 056254628
完全正确！！！
看来题目的确简单了。
不知056254628兄可否有兴趣算算 贝特朗概率问题，：

在半径为1的圆所在的平面内投针，针总是处于平躺着的状态。且总能与圆有交点，请算出针所代表的直线与圆相截所得的弦长大于sqrt(3)的概率

wayne

现在有两种计算方法：
1、根据弦心距来算弦长，可以设弦的中点直角坐标为(x,y)，那么 (x,y)的联合概率密度是多少？
2、根据弦的两端点来算弦长，设两端点的极坐标分别为 a,b ，那么 (a,b) 的联合概率密度又是多少？

根据这两个方法计算弦长大于根号3 的概率是否一致？

wayne

056254628

在半径为1的圆所在的平面内投针，针总是处于平躺着的状态。且总能与圆有交点，请算出针所代表的直线与圆相截所得的弦长大于sqrt(3)的概率

计算该概率，与扔针的等概率事件的理解有关，不同的理解计算的概率不同。这只能说楼主出的题目有问题，没有确切的描述出具体是如何扔针的。
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我的理解是这样的，
    1.针的中点(x,y)落在平面上任意一点的概率相等。即x等概率取任一实数值，y等概率取任一实数值。
    2.针的大头的朝向是等概率的。即针的大头与针的中点所成的角θ等概率取[0,2*Pi)之间的任一实数.
        3.若上述的取值下，针所在的直线与单位圆无交点，那么上述的扔针成为无效扔针，不计算在总的扔针次数内。

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楼主的扔针是否是我所理解的这样？

tian27546

这里面不是有个博弈论在里面吗

tian27546

站在不同的角度思考得到的是不一样的

056254628

若是我所理解的这样，那么设针的中点D距圆心为r，
那么有效的扔针，θ局限在D与单位圆的两条切线夹角内。夹角=2*arcsin(1/r)
符合的扔针，θ局限在D与半径为1/2的圆的两条切线夹角内。交角=2*arcsin(0.5/r)
所以针的中点D距圆心为r时，概率=$arcsin(0.5/r)/arcsin(1/r)$
所以r很大时，概率约等于1/2。
而2*Pi*r*2*arcsin(1/r)的无穷积分又是发散的。
所以有效的扔点大部分位于r很大的地方。所以总的概率即楼主题目的概率等于1/2