一道考研 概率题

056254628

关于贝特朗悖论：
在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。
有1/2,1/3,1/4的答案，貌似各自都有道理。实际上只是贝特朗脑子有问题，出的题目模棱两可，任选一条弦，这个“任选”是如何的任选，根本没有讲清楚。这个题目根本可以无视它。
没有讲清楚的题目怎么能拿来做呢？

wayne

11# 056254628
,怪我粗心。
你说的没错，原题，即贝特朗问题的表述是有问题的。
希望我没有打消你的积极性。

我想求的其实是这个实验情况(类似于蒲丰投针)：

在半径为1的圆所在的平面内投针，针是匀质的，即两头一样，长度为固定值L，L>2(单位长)，那么，在针这个线段与圆交有两点的情况中，针被圆截得的部分的长度，即弦长大于sqrt(3)的概率是多少

wayne

7# 056254628
我想，按照上述的方式投针，问题应该算是很清楚了 。
针的姿态是随机的，此时我们似乎仍然有多种解答。
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针的姿态的描述似乎比较麻烦，好像需要用三个随机变量的联合来描述，。。。

056254628

由于扔针的方向是等概率随机的，所以只需要研究一个方向就可以了，不妨就研究针垂直x轴，A头在上的情况。
有效扔针：针与圆交有两点。
符合扔针：针被圆截得的部分的长度，即弦长大于sqrt(3)




如图：
有效扔针，针A头必须落在图示的阴影部分，面积=2L-Pi
符合扔针，针A头必须落在图示的阴影部分（直线x=-0.5和x=0.5之间的部分），面积=L-(Pi/3+sqrt(3)/2).
所以所求的概率=$(L-(Pi/3+sqrt(3)/2))/(2L-Pi)$

wayne

14# 056254628

由于扔针的方向是等概率随机的，所以只需要研究一个方向就可以了

按你的思路理解，倾角a与中点坐标(x,y)是独立不相关的。

换种说法，设事件A： 在单位圆所在平面内随机选择点的坐标(x,y),
设事件B：过该点作以该点为中点的长度为L的线段，倾角为随机值a .
那么P(A*B) =P(A)*P(B)
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这个不对吧，我感觉应该是相关的

056254628

我们计算所有倾角为a的  有效扔针的面积和符合扔针的面积都等于14楼所求的相应的面积。
即倾角为a时，概率等于$(L-(Pi/3+sqrt(3)/2))/(2L-Pi)$ ，与倾角无关。
那么对倾角积分后的概率仍然等于$(L-(Pi/3+sqrt(3)/2))/(2L-Pi)$

wayne

16# 056254628
我仔细的算了一下，发现那个积分有点麻烦。貌似跟a有关。。。
我打算搁置二十天再完全重新算一算