变色次数的期望值

wayne

5# niuhuang2003 056254628的答案是正确的。 我的表达式有点不一样，但答案是一致的： $\sum _{k=1}^{m+n} \frac{k (C_{m-1}^{k-\lceil \frac{k+1}{2}\rceil } C_{n-1}^{\lceil \frac{k+1}{2}\rceil -1}+C_{m-1}^{\lceil \frac{k+1}{2}\rceil -1} C_{n-1}^{k-\lceil \frac{k+1}{2}\rceil })}{C_{m+n}^{n}}$

056254628

相邻的黑球或白球构成一组 那么一个排列中黑球被分成了若干组(a组)，白球也被分成了类干组(b组)。表示成a+b。 那么a和b相等，或相差1。 即k+k、k+(k+1)两种类型。 N个球成分i组，有$C_(N-1)^(i-1)$种分法。 k+k，黑球排前：$C_(m-1)^(k-1)*C_(n-1)^(k-1)$种，变色次数2k-1。 k+k，白球排前：$C_(m-1)^(k-1)*C_(n-1)^(k-1)$种，变色次数2k-1。 (k+1)+k,黑球排前：$C_(m-1)^k*C_(n-1)^(k-1)$种，变色次数2k。 k+(k+1),白球排前：$C_(m-1)^(k-1)*C_(n-1)^k$种，变色次数2k。 a、b最小为k时的总次数： $2*(2k-1)*C_(m-1)^(k-1)*C_(n-1)^(k-1)+2k*(C_(m-1)^k*C_(n-1)^(k-1)+C_(m-1)^(k-1)*C_(n-1)^k)$ =$2*C_(m-1)^(k-1)*C_(n-1)^(k-1)*(2k-1+m-k+n-k)$ =$2*(m+n-1)*C_(m-1)^(k-1)*C_(n-1)^(k-1)$ 对于所有的k值(1<=k<=m),总次数= $(\sum_{k=1}^m{2*(n+m-1)*C_{n-1}^(k-1)*C_{m-1}^(k-1)})$ ---------------------------------------- 总的排列数就是将所有的种类加起来，就等于2楼式子的分母部分，其实不用计算，就等于$C_(m+n)^m$ 两者相除就等于所求的次数期望。

suiyili

一个简单的方法。 因为题目说要变化次数的期望值，现在把两种球一起排列成一排，假设在相邻的球之间有一些连杆，那么就会有 m+n -1 个连杆，如果某个连杆前后的球不同，我们就把它设为1(代表变化)，否则设为0(没变)。 然后，我们把每个连杆看作一个随机变量，这个变量只有0和1两个值。题目中要求 E(X) X 代表 Sum(所有连杆随机值)，好了根据期望值公式 E(X) = Sum( E(Y) ) = E(Y) * (m+n-1) . Y=每个连杆随机值。 现在我们要知道每个连杆等于1的概率。 一排黑白球中，任意一个球是白色的概率是 m / (m+n),那么下一个是黑色的概率就是去掉它本身（一个白球）后，剩下的球中出现黑球的概率，= n / (m+n-1), =>任意一个白球相邻下一个黑球的概率=m*n / ((m+n)*(m+n-1)), 同样道理，任意一个黑球相邻下一个白球的概率 = m*n / ((m+n)*(m+n-1)), 相加后 得到 E(Y) = 2 * m*n / ((m+n)*(m+n-1)) * 1 + (前后球同色概率) * 0。 最后得到 E(X) = E(Y) * (m+n-1) = 2 * m*n / (m+n).

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