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发表于 2011-1-22 20:33:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

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《自然极值》系列——4.费马点问题
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1076/
《方程与宇宙》:三体问题和它的初积分(六)
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1181/

其中第一个帖子的第一种解法我第一次见到,感觉有新意,就推荐到这边.
高手莫要嘲笑我第一次见到
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2011-1-22 20:46:49 | 显示全部楼层
再推荐一个吧:
自然极值》系列——6.最速降线的解答
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1107/
我觉得里面的思想挺好的,所以推荐过来!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2011-1-24 14:43:15 | 显示全部楼层
再推荐一个吧:
自然极值》系列——6.最速降线的解答
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1107/
我觉得里面的思想挺好的,所以推荐过来!
mathematica 发表于 2011-1-22 20:46

这是我在学习的过程中整理的。其中这一类问题的解法十分初等,相对于已经学了变分的朋友来说简直小巫见大巫
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-1-24 15:59:38 | 显示全部楼层
生子当如苏剑林!

那个三连杆曲线方程有误。如果注意保持主动杆和从动杆的旋转方向,本来就只是四次方程——双纽线,不会跑到外面的圆周上去(否则就是连杆机械的大事故,要死人的)。

有很好的几何处理方法,有空了发上来。
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发表于 2011-1-24 23:25:15 | 显示全部楼层
生子当如苏剑林!

那个三连杆曲线方程有误。如果注意保持主动杆和从动杆的旋转方向,本来就只是四次方程——双纽线,不会跑到外面的圆周上去(否则就是连杆机械的大事故,要死人的)。

有很好的几何处理方法, ...
hujunhua 发表于 2011-1-24 15:59


期待你的方法!

不过几何画板显示能够出现圆周的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2011-1-25 15:10:07 | 显示全部楼层

1 主动杆AC保持逆时针方向旋转,从动杆BD保持
     顺时针方向旋转,连杆CD的中点E沿双纽线运动

                        图2 主动杆AC和从动杆BD保持同步运动,连杆CD的中点E亦为同步圆周运动


在无动力状态下,各杆保持惯性运动时,两种轨迹是不会交混的。如果你用几何画板作轨迹时出现交混,那是因为你作图的方法不对。我猜想你的作图方法如下:


1、作圆A和圆B. 然后在圆A上任取点C,以C为中心和AB长为半径作圆弧交圆B于D。
2、连结CD,取其中点E。
3、选择点E,点C,圆A,在“作图”菜单下选择“轨迹”。
这样作出的点E的轨迹就会成为半圆与半双纽线交混的奇怪曲线。正确的作图方法见下帖。

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2011-1-25 15:29:12 | 显示全部楼层
正确的作图方法:

在圆A上任取点C,作线段BC的中垂线m,以m为镜像线作出点A的镜像点D和点O(AB的中点)的镜像点E。这样作出来的E点轨迹就是完整的双纽线。

关于E点的轨迹为双纽线,有一个美妙的几何证明。证明基于双纽线的几何定义:到两定点距离之积为定值的点的轨迹曲线。这里两定点就是A和B,即需要证明AE·BE为定值。
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发表于 2011-1-25 15:36:35 | 显示全部楼层
原来是利用定义!之前一直对这四次曲线没有研究,因此不知道其定义。

你觉得这个8字形轨道是不是双纽线呢?
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1123/

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参与人数 1鲜花 +1 收起 理由
hujunhua + 1 不是,有出入,比双纽线扁些

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2011-1-25 16:00:40 | 显示全部楼层

由镜像作图可知,AE=OD,BE=OC。只需要证明OC·OD为定值。
以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴。
作点D关于x轴的镜像点F。AD、AF交圆B于点 G、H。OG=OH显然
由于AY是圆B的切线,所以y轴与点A是关于圆B的配极对偶。所以D、O、H三点共线,F、C、O、G四点共线。
又OE是梯形ACBD的中位线,所以OC=OG(=OH)。
得AE·BE=OC·OD=OH·OD=OY^2(余略矣)

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发表于 2011-1-29 14:30:16 | 显示全部楼层
原来是利用定义!之前一直对这四次曲线没有研究,因此不知道其定义。

你觉得这个8字形轨道是不是双纽线呢?
http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1123/
282842712474 发表于 2011-1-25 15:36

不是?我猜测是
\( x=c_1\cos(t),\>y=c_2\sin(2t) \)
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