关于自守数

liexi20101117 · 发表于 2011-2-6 23:14:53

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郭老师有一个网页，有个关于自守数的小程序（或称软件），是求某个数N的平方，这个平方数的后几位为这个数N的，不知N的三次方满足同样条件的话，是否N有无穷个呀

mathe · 发表于 2011-2-7 09:06:59

显然，满足平方条件的也满足三次方条件。当然满足三次方条件的解答更加多。

mathe · 发表于 2011-2-7 09:09:31

满足平方条件的就是模$5^n,2^n$都必须是0或1，所以4个解（包含两平凡解0,1)
而满足立方条件的就是模$5^n,2^n$都必须是0，1或-1，所以9个解，包含三个平方解0,1,-1(即全9)

liexi20101117 · 发表于 2011-2-8 20:17:15

您的意思是，对于不同的N来说：前一个的解是后一个的子集，我还以为会越来越少呀。
谢谢管理员老师的回复。

G-Spider · 发表于 2011-2-11 09:52:33

2# mathe
mathe的大自守数卷积解法蛮受益，通过扩展到2n或使用更大的基以符合卷积。

liexi20101117 · 发表于 2011-2-12 07:01:31

满足五次方的模的是些什么数呀

mathe · 发表于 2011-6-9 18:10:11

满足五次方的模的是些什么数呀
liexi20101117 发表于 2011-2-12 07:01

也就是$x(x^4-1)-=0(mod 10^n)$的解
就是说，关于$2^n$和$5^n$,要么是它们倍数，要么4次方为1。
4次方为1分别是1，-1，以及-1的两个平方根。
而对于n>1,由于奇数平方模4为1，不可能是-1，所以四次方只能是0，1。
但是模$5^n$可以有所有5个解。
所以总共2*5=10个界，包括3个平凡解0,1,-1

无心人 · 发表于 2011-6-10 11:28:51

3次方，6位以下
Prelude> stepSP 3 6
[(6,0),(6,1),(6,109375),(6,109376),(6,218751),(6,281249),(6,390625),(6,499999),(
6,500001),(6,609375),(6,718751),(6,781249),(6,890624),(6,890625),(6,999999)]
4次方
Prelude> stepSP 4 6
[(6,0),(6,1),(6,109376),(6,890625)]
5次方
Prelude> stepSP 5 6
[(6,0),(6,1),(6,31249),(6,45807),(6,77057),(6,109375),(6,109376),(6,140625),(6,1
72943),(6,186432),(6,204193),(6,218751),(6,249999),(6,250001),(6,281249),(6,2958
07),(6,327057),(6,359375),(6,390625),(6,422943),(6,454193),(6,468751),(6,499999)
,(6,500001),(6,531249),(6,545807),(6,577057),(6,609375),(6,640625),(6,672943),(6
,704193),(6,718751),(6,749999),(6,750001),(6,781249),(6,795807),(6,813568),(6,82
7057),(6,859375),(6,890624),(6,890625),(6,922943),(6,954193),(6,968751),(6,99999
9)]

无心人 · 发表于 2011-6-10 11:31:43

6次方
Prelude> stepSP 6 6
[(6,0),(6,1),(6,109376),(6,200001),(6,309376),(6,400001),(6,509376),(6,600001),(
6,709376),(6,800001),(6,890625),(6,909376)]
7次方
Prelude> stepSP 7 6
[(6,0),(6,1),(6,109375),(6,109376),(6,218751),(6,281249),(6,390625),(6,499999),(
6,500001),(6,609375),(6,718751),(6,781249),(6,890624),(6,890625),(6,999999)]

无心人 · 发表于 2011-6-10 11:34:08

8次方
Prelude> stepSP 8 6
[(6,0),(6,1),(6,109376),(6,890625)]
9次方
Prelude> stepSP 9 6
[(6,0),(6,1),(6,15625),(6,31249),(6,45807),(6,47943),(6,77057),(6,79193),(6,9375
1),(6,109375),(6,109376),(6,124999),(6,125001),(6,140625),(6,156249),(6,170807),
(6,172943),(6,186432),(6,202057),(6,204193),(6,218751),(6,234375),(6,249999),(6,
250001),(6,265625),(6,281249),(6,295807),(6,297943),(6,327057),(6,329193),(6,343
751),(6,359375),(6,374999),(6,375001),(6,390625),(6,406249),(6,420807),(6,422943
),(6,452057),(6,454193),(6,468751),(6,484375),(6,499999),(6,500001),(6,515625),(
6,531249),(6,545807),(6,547943),(6,577057),(6,579193),(6,593751),(6,609375),(6,6
24999),(6,625001),(6,640625),(6,656249),(6,670807),(6,672943),(6,702057),(6,7041
93),(6,718751),(6,734375),(6,749999),(6,750001),(6,765625),(6,781249),(6,795807)
,(6,797943),(6,813568),(6,827057),(6,829193),(6,843751),(6,859375),(6,874999),(6
,875001),(6,890624),(6,890625),(6,906249),(6,920807),(6,922943),(6,952057),(6,95
4193),(6,968751),(6,984375),(6,999999)]

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