一道平面几何难题

tian27546 · 发表于 2011-2-24 20:10:08

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yyy_fcz · 发表于 2011-2-24 21:21:30

D点与A点重合的时候，怎么办呢？

mathe · 发表于 2011-2-25 08:30:35

重合时可以先不予考虑。
我们可以先考虑做圆Q关于AB平行的另外一条切线交弧AC于D',而D'关于圆Q的一条切线平行AB,另外一条切线交圆P于M点。我们只要能够证明对于任意D,DEF的外接圆经过点M即可。

tian27546 · 发表于 2011-2-25 08:34:56

我在几何画板上操作得到如下：
未命名.jpg

tian27546 · 发表于 2011-2-25 08:36:39

请mathe 给出具体几何方法我感觉应该用到曲线系

tian27546 · 发表于 2011-2-25 08:38:01

感觉和你这个问题有点相似之处 http://bbs.emath.ac.cn/thread-2888-1-1.html

mathe · 发表于 2011-2-25 08:54:49

对的，和那个二次对合关系非常密切。只是确定一个二次对合需要5个点的变换值，要求有点多。
实际上，首先当我们移动D点时，DE,DF都是圆Q的切线，所以它们是二次对合的切线，于是它们在固定切线AB上的交点二次对合，也就是直线AB上E到F的变换是一个二次对合。
根据本题，所有这些圆还都经过定点M,那么圆DEFM就是过固定点M的二阶圆系。也就是说，任意做一条固定直线，这些圆系在固定直线上的交点还是直线上二次对合变换。但是好像利用二次对合证明定点M的存在还有点困难。
但是证明如果M存在，必然在圆P上还是简单的，因为只要取D=C,那么就有圆DEF=圆Q,所以如果M存在，那么必然在圆Q上。

wayne · 发表于 2011-2-25 09:07:41

设A，B，C对应的边的切点是X，Y，Z，那么
如果该点存在，则一定是三角形AYZ，BXZ，CXY这三个三角形的外接圆的交点。

mathe · 发表于 2011-2-25 09:19:20

这里还有一个特殊性，这个二次对合变换的三次复合是单位变换。

mathe · 发表于 2011-2-27 08:23:17

发现这个题目同前面那个链接中29#中猜测紧密关联。
只是我作图是发现好像那个猜测不对，但是较弱的一个猜测好像成立:
另外，我还有一个猜想，对于一条直线以及其上一个圆锥变换P和一条切直线于一点的圆锥曲线C。
对于直线上任意一个动点x,x和Px关于C的另外一条切线交于动点C,如果C的轨迹是圆，那么C,x,Px确定的圆是二阶圆系

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