俩道好题

tian27546

去大一上数学讨论班 大一的学生不知道哪找来的试题 一下子没好的思路

mathe

第一题可以先考虑用f(x)+t*x代替f(x),那么得到的新函数也必须满足条件,然后记
$I=\int_0^1 xf(x) dx, U=\int_0^1 f(x)dx$
我们得出
$4*U^2+4*t*U-6*I+t^2-2*t>=0$对于一切参数t都要成立,我们取$t=-2U+1$使得这个关于t的二次函数取最小值,得出我们需要证明
$4*U-6*I-1>=0$即可

mathe

记$F(x)=\int_0^xf(t)dt$
现在由$f(ax)=f(ax+(1-a)*0)>=af(x)+(1-a)$
两边同时对a从0到1积分,得到
$\int_0^1 f(tx)dt >=f(x)*1/2+1/2$
即
$2F(x)>=xf(x)+x$
所以
$I=\int_0^1xf(x)dx=xF(x)|_0^1-\int_0^1F(x)dx<=F(1)-1/2\int_0^1(xf(x)+x)dx$
即
$3/2I<=F(1)-1/4$而$U=F(1)$,所以
$6I+1<=4U$,得证

mathe

二中必须指明$a_n$是正项数列,不然数列不唯一(总是可以取负数替代)
此后就很简单了,因为取$b_n=a_n^2+1/{a_n^2}$,于是$b_{n+1}=b_n+4$

tian27546

2# mathe


怎么得到4u^2-4tu-6I+t^2-2t>=0的呢

tian27546

4# mathe


哦 非常感谢 后面stolz就是了

mathe

2# mathe


怎么得到4u^2-4tu-6I+t^2-2t>=0的呢
tian27546 发表于 2011-3-9 11:16

也就是假设命题成立,由于$f(x)+t*x$也满足同样不等式而且在x=0时取值为1,所以必须同样满足题目的不等式(特别的,t为0就是本题),而将$f(x)$改为$f(x)+t*x$计算不等式就是上面的结论.
反之,如果上面不等式成立,那么t=0时也必然成立,也就是本题成立

mathe

实际上,这个只是为了用于解释如何想到去证明$6I+1<=4U$的,也就是我的思路.
而如果仅仅要求给出证明过程,那么我们只要证明$6I+1<=4U$,然后就可以得出对于任意t
$4*U^2+4*t*U-6*I+t^2-2*t>=0$
然后t=0代入就得到本题结论.

gxqcn

题目读起来有点拗口：俩——“两个”的意思，后面不能再跟其它的量词。

tian27546

8# mathe


强！！