俩道好题

tian27546

mathe

这个题目感觉有些问题.首先,如果存在$x>y>=0$使得$f(x)>f(y)$,那么我们可以非常容易得出$lim_{x->+infty}f(x)=+infty$
这个是因为对于凸函数,对于$u>1$,有$1/{u+1}*f(u*(x-y))+u/{u+1}f(y)>=f(x)$
于是我们知道$f(u*(x-y))>=(u+1)(f(x)-u/{u+1}f(y))>=(u+1)(f(x)-f(y))$
于是在u趋向无穷时右边趋向无穷.所以对于本题,只有函数单调减的时候我们才有讨论意义.而这时,相当于证明
$\int_0^{+infty}f^2(x)dx<=2/3f(0)\int_0^{+infty}f(x)dx$

mathe

现在必然f(+infty)=0,取x_i使得f(x_i)=(2/3)^kf(0)然后分段放缩

mathe

于是利用凸函数性质我们有$x_{i+1}-x_i>=2/3(x_i-x_{i-1})$
而且容易放缩$\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)^2dx-2/3f(x_i)\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx$(利用几何意义以及函数$y^2-2/3f(x_i)y$在$y>2/3f(x_i)$时单调增可放缩成f(x)在这段区间取线性函数情况的值
另外余下$2/3(f(x_0)-f(x_i))\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx$全部重组成$2/3(f(x_{i-1})-f(x_i))\int_{x_i}^{+infty}f(x)dx$,同样利用几何意义得出这部分的积分大于上一段区间直线化后延长线构成的图（知道同x轴相交）。然后所有累加必然可以。
这个思路主要利用取等号仅在函数是直线段才行，而后面部分全0。

tian27546

嗯  这个题目可以推广

mathe

可以直接选择$x_0$使得$f(x_0)=1/3f(0)$，然后定义
$g(x)={(f(0)(1-{2x}/{3x_0}),"if\quadx<x_0),(0,else):}$
更加方便
可以直接得出对于任意x
$f(x)^2-{2f(0)}/3f(x)<=g(x)^2-{2f(0)}/3g(x)$