俩道级数求和问题

yinhow

用Dilogarithm 函数和Trilogarithem 函数的函数方程可以求解，定义Dilogarithm 函数为
$f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\log(1-x)}{x}dx$
Trilogarithem 函数为
$g(x)=\int_{0}^{x}\frac{f(x)}{x}dx$
有函数方程：
$f(x)+f(1-x)+\log(x)\log(1-x)=\frac{\pi^2}{6}$
和
$\frac{g(x^2)}{4}=g(x)+g(-x)$
$g(\frac{x}{1+x})+g(\frac{1}{1+x})+g(-x)$
$=g(1)-\frac{\pi^2}{6}\log(1+x)-$
$\frac{1}{2}\log(x)\log(1+x)^2+$
$\frac{1}{3}\log(1+x)^3$

wayne

21# yinhow
看的不是很明白

mathe

就是利用前面链接中的$Li_2(x)$和$Li_3(x)$.他直接给出了这些函数的一些性质，实际上应该可以利用换元积分等方法得出

wayne

借用链接中 公式18用分部积分是可以算出下面的原函数的。
$- \int{ln(x)ln(1+x)}/{x}dx$
$- \int{ln(x)ln(1+x)}/{1+x}dx$