请教一个很现实的数学概率问题！求详解~

soulzero

购买某种商品可以收集徽章兑换奖品，买东西得到两种徽章概率分别为A 10% B 15% c 30% D 35%（一次只可能获得一种徽章），也就是有10%的几率没有任何徽章，求一个人
集齐这四种徽章需要购买的物品数量的数学期望

扩展：徽章有m种，概率分别为，a b c d ……n，每种徽章徽章获得概率（a+b+c+……求集齐所有徽章需要购买物品数量的数学期望！

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徽章有m种，概率分别为，a b c d ……n，每种徽章徽章获得概率（a+b+c+……求集齐所有徽章需要购买物品数量的数学期望！
数学期望=1/a+1/b+1/c+...+1/n

soulzero

楼上的朋友，这么做肯定不对的

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楼上说的对，想的太简单了。
用计算机模拟购买过程，得到集齐所有四种徽章所需购买次数的平均值等于13.334269。

sheng_jianguo

简单的计算公式很难得到，但理论上计算方法是有的（就是稍麻烦些），就您的例子说明如下（由此可推广到m种情况）：
设A=0.1，B=0.15，C=0.30，D=0.35， W=1.0-AA-BB-CC-DD（买1次获不到徽章概率）
对于买N(≥4)次才集齐徽章的概率计算如下：
先假定前N-1次中不出现A徽章
由于要求前N-1次中必须出现B、C、D徽章，故这种情况下的概率SP=(S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8)*A，其中
          S1=(B+C+D+E)^(N-1);
          S2=-((C+D+E)^(N-1));
          S3=-((B+D+E)^(N-1));
          S4=-((B+C+E)^(N-1));
          S5=(B+E)^(N-1);
            S6=(C+E)^(N-1);
            S7=(D+E)^(N-1);
          S8=-(E^(N-1));
同样方法，可以求出当前N-1次中不出现B或C或D徽章时，买N(≥4)次才集齐徽章的概率，将这4个概率相加就得到买N(≥4)次才集齐徽章的概率SP(N)。
再根据数学期望定义，将所有的N* SP(N)（N≥4）累加（当N很大时，N* SP(N)已很小，可根据精度要求忽略计算）就得到所求的数学期望。
按上述方法求的的数学期望≈13.33130758130754856。

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徽章有m种，概率分别为$a_1,a_2,a_3,...,a_m$，求集齐所有徽章需要购买物品数量的数学期望！
可以用以下递推的方法计算：
m种徽章，记所求的数学期望为$f_m(a_1,a_2,...,a_m)$,$S=a_1+a_2+...+a_m$

那么$f_m(a_1,a_2,...,a_m)=1/S+a_1/S*f_(m-1)(a_2,a_3,...,a_m)+a_2/S*f_(m-1)(a_1,a_3,...,a_m)+...+a_m/S*f_(m-1)(a_1,a_2,...,a_(m-1))$
------------------------------------------------------------------------------------------
$f_1(a)=1/a$
$f_2(a,b)=1/(a+b)+a/(a+b)*f_1(b)+b/(a+b)*f_1(a)$
$f_3(a,b,c)=1/(a+b+c)+a/(a+b+c)*f_2(b,c)+b/(a+b+c)*f_2(a,c)+c/(a+b+c)*f_2(a,b)$
$f_4(a,b,c,d)=1/(a+b+c+d)+a/(a+b+c+d)*f_3(b,c,d)+b/(a+b+c+d)*f_3(a,c,d)+c/(a+b+c+d)*f_3(a,b,d)+d/(a+b+c+d)*f_3(a,b,c)$

将a=0.1,b=0.15,c=0.3,d=0.35代入上式，计算得期望值=13.3313075813076

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上述期望值的精确值=480407/36036

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如果所有的概率都相等（=a），那么就有简单的计算公式。
集齐m种徽章的次数期望记为g(a,m)，那么
$g(a,m)=(\sum_{i=1}^{m}1/i)/a$

soulzero

感谢楼上和版主的热心解答，数学忘光了，你们写的推导式有些看不懂，如果是3种徽章，概率分别为 15% 20% 30%，那么最终的结果是9.459吗？

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9# soulzero

$f_3(0.15,0.2,0.3)=7747/819=9.45909645909646$