随机游走掉进陷阱的概率

KeyTo9_Fans

有一只虫子在一个无限大的平面上爬。

它的初始位置是$(0,0)$。

它每次会往上、下、左、右$4$个方向的其中$1$个方向爬$1$个单位长度。

每个方向被选到的概率均为$1/4$，并且每次选择都是独立的。

在$(1,2)$处有一个陷阱$A$，在$(2,-1)$处有一个陷阱$B$。

问：这只虫子先爬到陷阱$A$的概率是多少？先爬到陷阱$B$的概率是多少？永远不会落入陷阱的概率是多少？

如果陷阱$A$在$(x_A,y_A)$处，陷阱$B$在$(x_B,y_B)$处，先爬到陷阱$A$的概率是多少？

风云剑

直观上看，(1, 2)和(2, -1)没有区别，概率一样的。

xbtianlang

虫子爬到(1,2)和(2,-1)需要3步，有3条路径。3步能爬到的点共有16个，其中4个有一条路径，8个有三条路径。最近的4个有九条路径。总共种有64可能。所以3步先爬到A,B的概率都是$3/64$……。

056254628

用$f(x,y)$表示初始位置为$(x,y)$时掉入陷阱$A(x_A,y_A)$的概率
那么有
$f(x_A,y_A)=1$
$f(x_B,y_B)=0$
$f(x,y)=1/4*(f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1))$
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解出f(0,0)即可。
解不出来。
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用电脑模拟必须设定最大步数，若超过最大步数NMax，仍未掉入任何陷阱，就记在永远不掉入陷阱的情况中，实际上超过最大步数后再进行下去，仍会有部分掉入陷阱中，所以精确的f(0,0)结果应该比模拟获得的结果大。
下面是NMax=10000,模拟次数为10000时的结果
掉入A(1,2)的概率为0.3880；
掉入A(2,-1)的概率为.3831
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下面是NMax=50000,模拟次数为10000时的结果
掉入A(1,2)的概率为0.4211；
掉入A(2,-1)的概率为.3879

风云剑

虫子爬到(1,2)和(2,-1)需要3步，有3条路径。3步能爬到的点共有16个，其中4个有一条路径，8个有三条路径。最近的4个有九条路径。总共种有64可能。所以3步先爬到A,B的概率都是$3/64$……。
xbtianlang 发表于 2011-12-22 17:11

超过3步时还是可能进入陷阱，所以比这个要大。

风云剑

电脑模拟我昨天就试过了。
4楼的步数明显太少了，我都试过100000000步的。
实际上我猜测不落入陷阱的概率是0.

KeyTo9_Fans

$2$楼的直觉是对的：当$A=(1,2)$，$B=(2,-1)$时，$P(A)=P(B)=0.5$。

$4$楼在$NMax=50000$，模拟次数为$10000$时误差太大，得检查一下代码和数据是否有误。

$6$楼的猜测也是对的：永不落入陷阱的概率是$0$。

我们换一组数据吧：

$A=(3,0)$，$B=(-2,2)$

看看结果是多少。

另外，是否存在$3$个陷阱$A$、$B$、$C$，使得：

$1$、只考虑陷阱$A$和$B$，则$P(A)>P(B)$

$2$、只考虑陷阱$B$和$C$，则$P(B)>P(C)$

$3$、只考虑陷阱$A$和$C$，则$P(C)>P(A)$

三者同时成立？

风云剑

楼主是研究混沌的吗？怎么出的都是概率题。
最后这个三陷阱问题很奇异啊。

KeyTo9_Fans

此题与我的研究方向无关。

我出概率题只是因为这些概率题比较好玩。

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最后一个问题只是考察一个猜想的正确性：落入陷阱的概率仅与距离有关。

如果三者不能同时成立，说明猜想正确，此问题的研究到此结束。

如果三者可以同时成立，说明此问题另有玄机，需要进一步研究。

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另外，大海里捞鱼的问题是我的作业题，还有两周就要交了，希望可以在这里得到高人的指点。

mathe

http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk2-Dimensional.html