四道题2

iseemu2009

四道题2求解

gxqcn

证明：
1. 通过面积法可证明：一个正多边形内的任意点，到各边距离之和为定值；
2. 将正十边形的红边（或绿边）延长，即可得到一个新的正五边形；
3. 所以，红色或绿色三角形面积之和均为相同的定值，故相等。

推广：正 m*n 边形，从内部任意点，向各顶点引线段将其划分成 m*n 个三角形，用 m 种颜色逆时针对之循环涂色，则同色的面积之和为定值。

wayne

第二题: 根据三角形的面积的行列式表达.可以得到正多边形的相邻两顶点构成的边到 正多边形内部的一点{x,y}的距离是$\frac{|x-y|}{\cos (\frac{2 \pi i}{2n})-\cos(\frac{(2 i+M)\pi }{2n})}$, 这里因为相邻,所以$M=1$,然后i从1取到n, 发现分子跟i无关,可以提取出来. 求和转一圈就是面积的一半了.

aimisiyou

$$题一，设正方形边长为1，则EC=2-\sqrt{3}, BE=\sqrt{3}-1,\frac{BE}{EC}=1+\sqrt{3}$$

王守恩

第1题。

\(∠CDE=a,BC=\cos(a),CE=\sin(a),\frac{BE}{CE}=k\)

Solve[{k == (Cos[a] - Sin[a])/Sin[a], (Cos[a] - Sin[a])/Cos[a] == Sin[Pi/4]/Sin[Pi/4 + 2 a], 1 > a > 0}, {a, k}]

{{a -> Pi/12, k -> 1 + Sqrt[3]}}


补充内容 (2025-4-28 19:16):
\(\frac{\cos(a) - \sin(a)}{\cos(a)} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(45^\circ + 2 a)}\ 可以解得 a=30^\circ\)

Gongwen0519

跟4楼的意思差不多：

王守恩

第三题。
1×1网格图形去掉1+0=1。
2×2网格图形去掉1+1+1=3。
3×3网格图形去掉2+1+2+1=6。
4×4网格图形去掉2+2+2+2+2=10。
5×5网格图形去掉3+2+3+2+3+2=15。
6×6网格图形去掉3+3+3+3+3+3+3=21。
7×7网格图形去掉4+3+4+3+4+3+4+3=28。
8×8网格图形去掉4+4+4+4+4+4+4+4+4=36。
9×9网格图形去掉5+4+5+4+5+4+5+4+5+4=45。
......
是这串数吗？

Gongwen0519

Gongwen0519 发表于 2025-4-25 20:43
跟4楼的意思差不多：

第一题30°的由来：



FM为BC的中垂线证明略(△AFD亦为等边三角形)。

王守恩

第三题。
1×1网格图形去掉1+0=1。
2×2网格图形去掉1+1+1=3。
3×3网格图形去掉2+1+2+1=6。
4×4网格图形去掉2+2+2+2+2=10。
5×5网格图形去掉3+2+3+2+3+2=15。
6×6网格图形去掉3+3+3+3+3+3+3=21。
7×7网格图形去掉4+3+4+3+4+3+4+3=28。
8×8网格图形去掉4+4+4+4+4+4+4+4+4=36。
9×9网格图形去掉5+4+5+4+5+4+5+4+5+4=45。
......
是这串数吗？应该是太多了？能提供相关资料吗？谢谢！！！

王守恩

第三题。
1×1网格图形去掉1+0=1。共用火柴4根。4/1=4。
2×2网格图形去掉1+1+1=3。共用火柴12根。12/3=4。
3×3网格图形去掉2+1+2+1=6。共用火柴24根。24/6=4。
4×4网格图形去掉2+2+2+2+2=10。共用火柴40根。40/10=4。
5×5网格图形去掉3+2+3+2+3+2=15。共用火柴60根。60/15=4。
6×6网格图形去掉3+3+3+3+3+3+3=21。共用火柴84根。84/21=4。
7×7网格图形去掉4+3+4+3+4+3+4+3=28。共用火柴112根。112/28=4。
8×8网格图形去掉4+4+4+4+4+4+4+4+4=36。共用火柴144根。144/36=4。
9×9网格图形去掉5+4+5+4+5+4+5+4+5+4=45。共用火柴180根。180/45=4。
......
是这串数吗？应该是太多了？能提供相关资料吗？谢谢！！！

去掉的都是水平火柴。

1×1正方形每个去掉1根。
2×2正方形每个去掉2根。
3×3正方形每个去掉3根。
4×4正方形每个去掉4根。
5×5正方形每个去掉5根。
6×6正方形每个去掉6根。
......
好像太多了？